फाइबोनैकी अनुक्रम क्या है? यह इतना खास क्यों है?

फाइबोनैचि अनुक्रम द्वितीय की संकल्पना फैबोनासी अनुक्रम (जून 2019).

Anonim

गणित पैटर्न का अध्ययन है। हालांकि सभी पैटर्न तर्क के कड़े नियमों के अनुरूप होते हैं, उनमें से केवल कुछ ही रचनात्मकता को बढ़ावा देते हैं। यह मेरे लिए बेतुका है कि एक सिंगल, एक-इंच समीकरण क्षणिक रूप से आपके हाथ का अधिकार ले सकता है और आपको आंकड़ों का सबसे उत्कृष्ट आकर्षित करने के लिए प्रेरित करता है। यह उल्लेखनीय है कि इन जटिल आंकड़ों को तीन प्रतीकों और दो समांतर रेखाओं में कैसे घटाया जा सकता है। मैं इस शब्द का उपयोग करता हूं क्योंकि, इस पल के लिए, हम अंधेरे से समीकरण कमांड करते हैं, और भविष्यवाणी पर भरोसा करते हैं, हम बिंदुओं को चिह्नित करना शुरू करते हैं, जो शुरुआत में असंभव लगते हैं।

हालांकि, हम अधिग्रहण जारी रखते हैं। टूल्स टूल्स और अप्रिय शासक पेपर पर इंप्रेशन अनिवार्य रूप से अनंत बिंदुओं का संग्रह होने तक उठाए जाने से इनकार करते हैं; कंपास द्वारा चिपकने वाले पेंसिल और सफेद बिंदुओं द्वारा छोड़े गए काले बिंदु। असीमित बिंदु स्वयं को अनलॉक करते हैं और आज्ञाकारी रूप से संरेखित होते हैं जैसे तर्क के लिए उन्हें आवश्यकता होती है। जबकि एक सर्कल में minimalist प्रसन्नता, एक polystraron में abstractionist प्रसन्नता।

फिर संख्यात्मक पैटर्न होते हैं, संख्याओं का अनुक्रम जो आवधिक रूप से दोहराया जाता है। मनुष्य स्वाभाविक रूप से पैटर्न मांगने वाले प्राणियों हैं। वास्तव में, हम डॉट्स को जोड़ने में इतने कुशल हैं कि ये पैटर्न डॉट्स के लिए विशिष्ट नहीं हैं, बल्कि संदर्भों तक भी बढ़ाए गए हैं। उपाध्यक्ष या पुण्य के साथ एक पैटर्न या आकृति की उपस्थिति दोनों की घटना से संबंधित है। वे असंख्य समाजों में संप्रदायों के पीछे चालक दल रहे हैं।

इलुमिनेटी प्रतीक और वाह! संकेत (फोटो क्रेडिट: Quintendp099 और NAAPO / विकिमीडिया कॉमन्स)

पवित्रता का एक तत्व है कि लोग लंबे समय से कुछ आंकड़े और समूहों, जैसे इलुमिनेटी से जुड़े हुए हैं। दूसरी तरफ, वैज्ञानिक और गणितज्ञ बौद्धिक रहस्य के रूप में ऐसे पैटर्न को जोड़ना पसंद करते हैं। वाह पर विचार करें ! सिग्नल, ओहियो के बिग ईयर रेडियो दूरबीन द्वारा संख्याओं के बीच अप्रत्याशित रूप से प्राप्त अक्षरों का एक पैटर्न, बाह्य अंतरिक्ष गतिविधि पर संकेत देता है।

हालांकि, वहां संख्याओं का एक पैटर्न भी मौजूद है जो न केवल रहस्य, बल्कि पवित्रता को उत्तेजित करता है, क्योंकि यह उन जगहों पर उभरता है जो कभी उम्मीद नहीं करेंगे। इस पैटर्न पर विचार करें - 13-3-2-21-1-1-8-5 - दा विंची कोड में टॉम हैंक्स के लिए एक संकेत के रूप में हत्यारे संग्रहालय क्यूरेटर जैक्स सौनीएर द्वारा खींचा गया।

फाइबोनैकी संख्याएं

लियोनार्डो पिसानो, जिसे आमतौर पर फिबोनाकी के नाम से जाना जाता है। (फोटो क्रेडिट: जर्मन विकिपीडिया / विकिमीडिया कॉमन्स में डॉ मैनुअल)

फिबोनैकी हिंदू-अरबी गणित से काफी प्रभावित था। उस समय यूरोपीय लोगों ने रोमन संख्याओं के व्यापक सेट का उपयोग जारी रखा, जबकि हिंदू और अरब हिंदू-अरबी संख्या प्रणाली के गुणों का आनंद ले रहे थे - आधार -10 संख्या 0-9 से लेकर पीढ़ियों के लिए। उन्होंने इन विचारों को यूरोप में अपने अत्यधिक सम्मानित काम लाइबर अबासी में प्रकाशित करके निर्णय लेने का फैसला किया

किताब एक किंवदंती बन गई। हालांकि, इसकी लोकप्रियता अंततः केवल दो योगदानों तक कम हो गई: पहला, संख्या प्रणाली, जिसके बिना आधुनिक गणित की प्रगति संभव नहीं होती; और दूसरा, खरगोशों के प्रजनन के बारे में एक काल्पनिक, अवास्तविक समस्या। फिबोनाची संख्याओं को सबसे पहले इस समस्या के समाधान के रूप में दिखाया गया था।

रहस्यमय फिबोनाची संख्याएं

इस तरह के चक्रीय पैटर्न प्राप्त करने के लिए कोई भी अनुक्रम को किसी भी संख्या से विभाजित कर सकता है। उदाहरण के लिए, जब संख्या 7 से विभाजित होती है, तो 16 संख्याओं की अवधि उभरती है। इसी प्रकार, अवधि की लंबाई 20 होती है जब विभाजक 5 होता है। 1/3 के परिणामस्वरूप आवर्ती, समान स्निपेट के लंबे टेप में भी परिणाम होता है। हालांकि, गणितज्ञों ने एक सामान्य सूत्र नहीं खोजा है जो एक अवधि की लंबाई की भविष्यवाणी करता है जब अनुक्रम किसी विशेष संख्या से विभाजित होता है।

एक और उग्र परेशानी अनुक्रम में छिपा अनंत दाएं कोण वाले त्रिकोण हैं। 5 से शुरू होने पर, अनुक्रम में प्रत्येक दूसरा नंबर दाएं कोण वाले त्रिभुज का hypotenuse है जिसका लंबा पक्ष पिछले त्रिकोण के सभी किनारों का योग है और छोटी तरफ छोड़ने वाले नंबर और पिछले के छोटे पक्ष के बीच अंतर है त्रिकोण। एक चित्रमय स्पष्टीकरण इन त्रिकोणों को बेहतर समझने में मदद करेगा।

ये क्या जादू है?

अमूर्त गणित की उपयोगिता बहस में प्राथमिक तर्क रही है कि क्या गणित का आविष्कार किया गया था या पता चला था। ऐसे सिद्धांत हैं जो गणितीय प्रतिभा और कठोरता के उच्चतम क्रम को चित्रित करते हैं लेकिन वास्तविक दुनिया से पूरी तरह अलग हैं। उदाहरण के लिए, न्यूटन ने कैलकुस का आविष्कार किया विशेष रूप से प्रक्षेपवक्र के समीकरण को निर्धारित करने के लिए कि पृथ्वी सूर्य के चारों ओर चल रही थी। बेशक, गणित अन्य डोमेन के असंख्य में भी आकर्षक साबित हुआ, लेकिन क्या हम रिमेंन की हाइपोथिसिस के बारे में भी यही बात कह सकते हैं?

हालांकि, दुर्लभ उदाहरण हैं जहां अत्यधिक गूढ़ सार गणित लागू हो जाता है। मिसाल के तौर पर, रिमेंन ने 1850 के दशक में घुमावदार ज्यामिति की अपनी बेतुका अवधारणाओं को विकसित किया, जो आइंस्टीन ने उन्हें सामान्यता के सामान्य सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण के नियमों को फिर से खोजने के लिए उपयोग नहीं किया। इन गणितीय विवाहों की अप्रत्याशितता अभी भी हमें परेशान करती है।

यह फिबोनाची संख्याओं की रहस्यमय प्रकृति के साथ भी मामला है। मध्य युग में खोजे जाने के बावजूद, उन सभी जगहों पर, जिन्हें हमने कभी उम्मीद नहीं की थी, उन्हें हर किसी के विवेक के लिए खोज और पुनः खोज लिया गया है। फिबोनाची संख्याओं के साथ हमारा आकर्षण इतनी हद तक फैलता है कि एक संपूर्ण पत्रिका अपनी विशिष्टताओं को समर्पित करती है, जिसे फिबोनाकी त्रैमासिक कहा जाता है

पास्कल के त्रिकोण पर विचार करें। जब पास्कल को एक जुआ के परिणाम और दांव की प्रकृति के बाधाओं के बारे में जुआरी से परामर्श दिया गया, तो उन्होंने इन समस्याओं को हल करने की संभावना के सिद्धांत का आविष्कार किया । पास्कल का त्रिकोण बिनोमियल गुणांक द्वारा गठित एक साफ त्रिभुज है। त्रिकोण एक सारणी के रूप में कार्य करता है जिसे एक द्विपदीय समीकरण का विस्तार करते समय संदर्भित करता है।

पास्कल का त्रिकोण। (फोटो क्रेडिट: आरडीबीरी / विकिमीडिया कॉमन्स)

हालांकि, यदि आप त्रिभुज को नीचे ले जाने वाले विकर्णों को आकर्षित करना चाहते हैं और प्रत्येक व्यक्तिगत विकर्ण पर रहने वाली संख्याओं को जोड़ना चाहते हैं, तो संख्याओं की श्रृंखला प्रत्येक विकर्ण प्रतिनिधित्व के साथ समान है, जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, फाइबोनैकी संख्याएं। लाइबेर अबासी प्रकाशित होने के 400 साल बाद संभाव्यता का सिद्धांत स्थापित किया गया था।

या, मंडेलब्रॉट सेट पर विचार करें, एक गणितीय फ़ंक्शन जिसे जटिल विमान में खींचे गए एक सुंदर आरेख द्वारा सीमित किया जा सकता है। चित्र अपने किनारों पर छोटी कलियों के साथ एक दिल के आकार का पत्ता दिखाई देता है। ये कलियों अविश्वसनीय पतली कांटे से भरे हुए हैं। आरेख एक फ्रैक्टल का प्रतिनिधित्व करता है, एक संरचना जिसका हर भाग स्वयं से बना होता है। जिसका अर्थ यह है कि यदि आप उस पर ज़ूम इन रखना चाहते थे, तो आप पाएंगे कि संरचना एक अनंत लूप में दोबारा शुरू होती है।

मंडेलब्रॉट सेट आरेख। (फोटो क्रेडिट: कार्यक्रम के साथ वुल्फगैंग बेयर अल्ट्रा फ्रैक्टल 3. / विकिमीडिया कॉमन्स)

जैसे ही हम किनारों पर कलियों में ज़ूम करते हैं, हम देखते हैं कि कली मूल पत्ती में बढ़ जाती है और तीन किनारों के किनारे अपने किनारों पर उभरते हैं। अगर कोई ज़ूम इन करना चाहता था, तो वह इस जुलूस को हमेशा के लिए और हमेशा के लिए देखेगा। हालांकि, जैसा कि हम गहरे और गहरे दिखते हैं, हम देखते हैं कि हर नई कली पर कांटे की संख्या बढ़ जाती है। संख्याओं में वृद्धि एक निश्चित पैटर्न की नकल करता है; यह फिबोनाची अनुक्रम है! संभवतः यह किसने भविष्यवाणी की हो सकती है?

अनुक्रम अर्थशास्त्र में और नर मधुमक्खी की वंशावली का पता लगाने में भी बदल जाता है। इसका व्यापक रूप से कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग किया जाता है, जहां इसका उपयोग छद्म यादृच्छिक संख्या जेनरेटर नामक एल्गोरिदम द्वारा कथित रूप से यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। मैं समझदारी से उपयोग करता हूं क्योंकि उत्पन्न संख्या वास्तव में यादृच्छिक नहीं हैं; वे हमेशा पिछले इनपुट पर निर्भर करते हैं।

इसका उपयोग एल्गोरिदम को सॉर्ट करने में भी किया जाता है जिसमें क्षेत्र को अनुपात में विभाजित किया जाता है जो लगातार दो फिबोनाची संख्याएं होती है, न कि दो बराबर भागों। यह एक स्थान के शिकार को सबसे सरल गणितीय परिचालनों में जोड़ता है - जोड़ और घटाव। जबकि, बाइनरी सॉर्टिंग (दो बराबर भागों में विभाजित) गुणा, विभाजन और बिट स्थानांतरण के उपयोग की आवश्यकता है। अनुक्रम का उपयोग विभिन्न अन्य महत्वपूर्ण गणितीय पहचानों को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। हालांकि, हमारे बगीचे में इसका सबसे महत्वपूर्ण आवेदन मिलता है।

फाइबोनैकी सर्पिल

पार्थेनन। (फोटो क्रेडिट: फ़्लिकर)

ग्रीक लोगों ने आखिरकार इस सार को खोज लिया। उनके अनुसार, दो हिस्सों में एक रेखा को विभाजित करने का सबसे सुंदर तरीका उन्हें अनुपात में विभाजित करना है जैसे कि छोटे भाग से विभाजित लंबा हिस्सा पूरे भाग के बराबर होता है जो लंबे भाग से विभाजित होता है। उन्होंने इसे गोल्डन अनुपात कहा , और इसका मूल्य 1.618 है

नतीजतन, वे इस अनुपात पर अपनी कला और वास्तुकला आधारित। एक उदाहरण द पार्थेनॉन का आर्किटेक्चर है , जिसका पक्ष स्वर्ण अनुपात में है। यहां तक ​​कि पुनर्जागरण कलाकार भी इस अनुपात के उपयोग के बारे में एक-दूसरे के साथ तालमेल में थे। उनकी कलाकृति का एक बड़ा हिस्सा अपने सौंदर्य अपील को बढ़ाने के अनुपात पर निर्भर करता है।

इस खजाने वाले अनुपात को फिबोनाची संख्याओं के साथ क्या करना है? केप्लर ने एक बार देखा कि "जैसा कि 5 से 8 है, 8 से 13 है, व्यावहारिक रूप से, और 8 के रूप में 13 है, तो लगभग 13 से 21 है।" लगातार दो फिबोनाची संख्याओं का अनुपात लगभग प्रारंभिक धीमी गति के बराबर है * सुनहरा अनुपात! यह इंटरनेट पर सबसे मान्यता प्राप्त सर्पिलों में से एक को फिबोनाची संख्या से जोड़ता है।

फिबोनाची संख्याओं के वर्ग इस तरह लिखे जा सकते हैं:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

रहस्यमय कुछ भी नहीं? चलो एक साथ उनमें से एक गुच्छा जोड़ें:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

करीब देखो और आप देखेंगे कि 6 2 और 3 का उत्पाद है, 15 3 और 5 का उत्पाद है, और 40 5 और 8 का उत्पाद है। फिबोनाची संख्याओं और सुनहरा अनुपात के बीच एक वैवाहिक संबंध स्पष्ट हो जाता है - दो संख्याएं इन उत्पादों का गठन लगातार Fibonacci संख्या है! अब, चलो उपरोक्त सारांश चित्रमय रूप से करते हैं। प्रत्येक संख्या वर्ग को एक वर्ग द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसका पक्ष वर्गों की एक ही संख्या के बराबर होता है।

तो, एक वर्ग का वर्ग एक इकाई के एक वर्ग द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। इस वर्ग को अनुक्रम में अगले वर्ग में जोड़ा जाता है - एक इकाई के एक और वर्ग। इसके बाद, 1 × 2 आयताकार दो इकाइयों के एक वर्ग में जोड़ा जाता है, जिसे आगे तीन इकाइयों के एक वर्ग में जोड़ा जाता है और इसी तरह। हमें एहसास है कि उत्पाद वास्तव में इन उभरते आयतों के क्षेत्र थे।

चूंकि उत्पाद लगातार फाइबोनैकी संख्याएं थीं, कोई भी यह समझ सकता है कि किसी भी आयताकार के दोनों किनारों का अनुपात सुनहरा अनुपात है! चूंकि रकम की संख्या अनंतता तक पहुंचती है, मौजूदा बढ़ते आयत के किनारों का अनुपात अनुपात के सटीक मूल्य तक पहुंचता है। केंद्र से निकलने वाला एक वक्र और प्रत्येक वर्ग के कोनों से गुजरने वाला वक्र धीरे-धीरे एक सर्पिल में बढ़ता है - सुनहरा सर्पिल, सुनहरे कोण नामक कोण पर लगातार विचलित होता है।

एक नॉटिलस खोल में गोल्डन सर्पिल (नॉटिलस कटवे लॉगरिदमिक सर्पिल) और एक पाइन शंकु। (फोटो क्रेडिट: क्रिस 73 / विकिमीडिया कॉमन्स और पिक्साबे)

सुनहरी सर्पिल प्रकृति में असंख्य स्थानों में, हमारी आकाशगंगा के आकार से नॉटिलस खोल में पाया जा सकता है। यह पाइन शंकु और अनानस के फललेट की व्यवस्था को नियंत्रित करता है। मेरा पसंदीदा सूरजमुखी के केंद्र में घिरे बीज की व्यवस्था में इसकी घटना है। हालांकि, "अव्यवस्था" शब्द का उपयोग करके इन बीजों को व्यवस्थित करते समय प्रकृति में खर्च की गई कठोरता की परिमाण को अनदेखा कर दिया जाएगा।

एक सूरजमुखी के बीज सुनहरे कोण पर अलग हो जाते हैं। (फोटो क्रेडिट: रेमी जौन / विकिमीडिया कॉमन्स)

बीज एक पहिया की प्रवक्ता की तरह गठबंधन नहीं होते हैं; वे धीरे-धीरे बाहर की ओर digress। खुदाई का कोण सुनहरा कोण है। ऐसा प्रतीत होता है कि प्रकृति स्वेच्छा से इस अनुपात का चयन करती है क्योंकि सर्कल को एक तर्कहीन संख्या से विभाजित करने से केंद्र से एक ही कोण पर किसी भी बीज को पड़ोसी नहीं होता है। इसके परिणामस्वरूप अत्यधिक कुशल पैकिंग हुई, जिससे नकारात्मक स्थान के लिए लगभग कोई जगह नहीं निकल गई। सर्पिल की संख्या, आप पूछते हैं? 55 एक दिशा में, दूसरे में 89। निश्चित रूप से फिबोनाची दोनों संख्याएं!