तर्कसंगत और अपरिमेय संख्या क्या हैं

परिमेय तथा अपरिमेय संख्या ( Rational and irrational numbers) by shivendar sir (जून 2019).

Anonim

गणित की तुलना में कुछ भी आसान, स्पष्ट और रोमांचक नहीं है। केवल इसकी मूल बातें अच्छी तरह से समझना आवश्यक है। यह इस लेख में मदद करेगा, जिसमें तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के सार का विस्तार और आसानी से खुलासा किया गया है।

लगता है की तुलना में सब कुछ आसान है!


गणितीय अवधारणाओं की अमूर्तता से, यह कभी-कभी इतनी ठंडी और टुकड़ी को उड़ा देता है कि विचार अनैच्छिक रूप से उठता है: "यह सब क्या है?"। लेकिन, पहली छाप के बावजूद, सभी प्रमेय, अंकगणितीय संचालन, कार्य, आदि। - तत्काल जरूरतों को पूरा करने की इच्छा से अधिक नहीं। यह विभिन्न सेटों की उपस्थिति के उदाहरण में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।
यह सब प्राकृतिक संख्या की उपस्थिति के साथ शुरू हुआ। और, हालांकि यह संभावना नहीं है कि अब कोई उत्तर दे सकेगा कि यह वास्तव में कैसा था, लेकिन सबसे अधिक संभावना है, गुफा में कहीं से विज्ञान की रानी के पैर बढ़ते हैं। यहां, खाल, पत्थर और जनजातियों की संख्या का विश्लेषण करते हुए, एक व्यक्ति ने "खाते के लिए संख्या" की एक भीड़ की खोज की। और यही उसके लिए काफी था। एक बिंदु तक, निश्चित रूप से।
फिर खाल और पत्थरों को विभाजित करना और उन्हें दूर ले जाना आवश्यक था। अतः अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता थी, और उनके साथ तर्कसंगत संख्याएँ, जिन्हें प्रकार m / n के एक अंश के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ, उदाहरण के लिए, m खाल की संख्या है, n जनजातियों की संख्या है।
ऐसा लगता है कि पहले से ही खुला गणितीय उपकरण जीवन का आनंद लेने के लिए पर्याप्त है। लेकिन यह जल्द ही पता चला कि ऐसे मामले हैं जब परिणाम यह नहीं है कि एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन एक अंश भी नहीं है! और, वास्तव में, दोनों के वर्गमूल को अंश और हर का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है। या, उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीक विद्वान आर्किमिडीज द्वारा खोजा गया प्रसिद्ध पाई नंबर भी तर्कसंगत नहीं है। और समय के साथ, ऐसी बहुत सी खोजें हुई हैं कि सभी गैर-तर्कसंगत संख्याओं को जोड़ दिया गया है और उन्हें तर्कहीन कहा जाता है।

गुण


पहले माने गए सेट गणित की मूलभूत अवधारणाओं के सेट से संबंधित हैं। इसका मतलब यह है कि उन्हें सरल गणितीय वस्तुओं के माध्यम से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। लेकिन यह श्रेणियों (ग्रीक से "स्टेटमेंट") का उपयोग करके या पोस्ट किया जा सकता है। इस मामले में, इन सेटों के गुणों को नामित करना सबसे अच्छा था।
o अपरिमेय संख्याएं वेदेकाइंड वर्गों को परिमेय संख्याओं के समूह में परिभाषित करती हैं, जो निम्न वर्ग में सबसे बड़ी नहीं होती हैं और कम से कम उच्च वर्ग में नहीं होती हैं।
o प्रत्येक पारलौकिक संख्या अपरिमेय है।
o प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजीय या पारलौकिक होती है।
o अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हर जगह संख्या रेखा पर सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
o अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है, बैयर की दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।
o यह सेट आर्डर किया गया है, अर्थात्, हर दो अलग-अलग तर्कसंगत संख्याओं के लिए a और b, आप निर्दिष्ट कर सकते हैं कि कौन सा दूसरे से छोटा है।
o हर दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक और परिमेय संख्या होती है, और इसलिए, परिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या होती है।
o किसी भी दो परिमेय संख्याओं पर अंकगणित संचालन (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) हमेशा संभव होते हैं और एक निश्चित परिमेय संख्या में परिणाम होते हैं। अपवाद शून्य द्वारा विभाजन है, जो असंभव है।
o प्रत्येक परिमेय संख्या को दशमलव अंश (परिमित या अनंत आवधिक) के रूप में दर्शाया जा सकता है।