टिप 1: त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की अवधि कैसे पता करें


सभी त्रिकोणमितीय मान बिना याद किये उंगलियों से निकालें || Trigonometric value || SSC CGL || IBPS || (जुलाई 2019).

Anonim

त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, अर्थात् एक निश्चित अवधि के बाद दोहराया जाता है। इसके कारण, इस अंतराल पर फ़ंक्शन की जांच करना और अन्य सभी अवधियों में पाए जाने वाले गुणों का विस्तार करना पर्याप्त है।

अनुदेश

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यदि आपको एक सरल अभिव्यक्ति दी जाती है, जिसमें केवल एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (पाप, कॉस, tg, ctg, sec, cosec) है, और फ़ंक्शन के अंदर का कोण किसी भी संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, लेकिन यह स्वयं किसी भी डिग्री तक नहीं उठाया जाता है - परिभाषा का उपयोग करें। Sin, cos, sec, cosec वाले भावों के लिए, सुरक्षित रूप से 2P तक की अवधि निर्धारित करें, और यदि समीकरण में tg, ctg है, तो P। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2 sinx + 5 के लिए, अवधि 2P होगी।

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यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न के तहत कोण x किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है, तो, इस फ़ंक्शन की अवधि को खोजने के लिए, उस संख्या द्वारा मानक अवधि को विभाजित करें। उदाहरण के लिए, आपको फ़ंक्शन y = sin 5x दिया गया है। एक साइन - 2 पी के लिए मानक अवधि, इसे 5 से विभाजित करते हुए, आपको 2 पी / 5 मिलता है - यह इस अभिव्यक्ति की वांछित अवधि है।

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किसी शक्ति को बढ़ाए गए त्रिकोणमितीय फलन की अवधि ज्ञात करने के लिए, शक्ति की समता का अनुमान लगाएं। एक समान डिग्री के लिए, मानक अवधि को आधे से कम करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक फ़ंक्शन y = 3 cos ^ 2x दिया जाता है, तो मानक अवधि 2P 2 गुना कम हो जाएगी, इसलिए अवधि P. नोट के बराबर होगी कि फ़ंक्शन tg, ctg किसी भी डिग्री P के लिए आवधिक हैं।

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यदि आपको दो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद या भागफल वाले समीकरण दिए गए हैं, तो पहले उनमें से प्रत्येक के लिए अलग-अलग अवधि ज्ञात करें। फिर न्यूनतम संख्या ज्ञात करें जो दोनों समयावधि के पूर्णांक संख्या में फिट होगी। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = tgx * cos5x दिया गया। स्पर्शरेखा अवधि पी के लिए, 5x के कोसाइन के लिए - अवधि 2 पी / 5। न्यूनतम संख्या जिसमें आप इन दोनों अवधि को 2 पी फिट कर सकते हैं, इसलिए वांछित अवधि 2 पी है।

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यदि आपको सुझाए गए तरीके से कार्य करना मुश्किल है या उत्तर पर संदेह करना है, तो परिभाषा द्वारा कार्य करने का प्रयास करें। फ़ंक्शन टी की अवधि के रूप में लें, यह शून्य से अधिक है। एक्स के बजाय एक्सप्रेशन (एक्स + टी) के समीकरण में रखें और परिणामी समानता को हल करें, जैसे कि टी एक पैरामीटर या एक संख्या थी। परिणामस्वरूप, आपको त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान मिलेगा और आप न्यूनतम अवधि चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, सरलीकरण के परिणामस्वरूप, आपके पास पहचान पाप (टी / 2) = 0 है। टी का न्यूनतम मूल्य जिस पर इसे निष्पादित किया जाता है वह 2 पी है, यह समस्या का जवाब होगा।

  • पाप का काल

टिप 2: पीरियड फंक्शन कैसे पता करें

एक आवधिक कार्य एक फ़ंक्शन है जो कुछ गैर-शून्य अवधि के बाद अपने मूल्यों को दोहराता है। किसी फ़ंक्शन की अवधि एक संख्या है, जिसके अतिरिक्त फ़ंक्शन तर्क फ़ंक्शन के मान को नहीं बदलता है।

आपको आवश्यकता होगी

  • प्रारंभिक गणित और विश्लेषण की शुरुआत का ज्ञान।

अनुदेश

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फ़ंक्शन K (x) की अवधि को संख्या K से दर्शाते हैं। हमारा कार्य इस मान को खोजना है। K। ऐसा करने के लिए, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन f (x), एक आवधिक फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके, हम f (x K) = f (x) की बराबरी करते हैं।

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हम अज्ञात K के संबंध में परिणामी समीकरण को हल करते हैं, जैसे कि x एक स्थिर है। K के मूल्य के आधार पर, कई विकल्प हैं।

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यदि K> 0 है, तो यह आपके फ़ंक्शन की अवधि है।
यदि K = 0 है, तो फ़ंक्शन f (x) आवधिक नहीं है।
यदि समीकरण f (x + K) = f (x) का समाधान किसी भी गैर-शून्य K के लिए मौजूद नहीं है, तो इस फ़ंक्शन को एपेरियोडिक कहा जाता है और इसकी कोई अवधि भी नहीं है।

ध्यान दो

सभी त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, और 2 से अधिक डिग्री वाले सभी बहुपद कार्य aperiodic हैं।

अच्छी सलाह है

एक फ़ंक्शन की अवधि जिसमें दो आवधिक कार्य शामिल हैं, इन कार्यों की अवधि के कम से कम सामान्य एकाधिक हैं।

टिप 3: त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं (उदाहरण के लिए: 5sinx-3cosx = 7)। उन्हें हल करने का तरीका जानने के लिए - आपको इसके लिए कुछ तरीकों को जानना होगा।

अनुदेश

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इस तरह के समीकरण के समाधान में दो चरण होते हैं।
पहला इसका सबसे सरल रूप प्राप्त करने के लिए समीकरण का परिवर्तन है। सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण निम्नलिखित हैं: Sinx = a; कॉसक्स = ए, आदि।

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दूसरा प्राप्त सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके हैं:
समाधान एक बीजगणितीय विधि है। यह विधि स्कूल से अच्छी तरह से ज्ञात है, बीजगणित पाठ्यक्रम से। अलग-अलग चर और प्रतिस्थापन को विधि कहा जाता है। कमी के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम बदल देते हैं, एक प्रतिस्थापन बनाते हैं, और फिर हम जड़ें ढूंढते हैं।

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कारकों में समीकरण का गुणन। सबसे पहले, हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और इसे बाहर निकालते हैं।

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सजातीय के समीकरण को कम करना। सजातीय समीकरणों को समीकरण कहा जाता है यदि सभी शब्द समान डिग्री और साइन, समान कोण के कोसाइन होते हैं।
इसे हल करने के लिए, आपको चाहिए: पहले अपने सभी सदस्यों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं; सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें; गुणक और कोष्ठक शून्य पर सेट करें; समतुल्य कोष्ठक एक कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण देते हैं, जिसे उच्चतम में कॉस (या पाप) में विभाजित किया जाना चाहिए; तन के लिए परिणामी बीजगणितीय समीकरण हल करें।

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अगली विधि आधे कोने पर जाने की है। उदाहरण के लिए, समीकरण को हल करें: 3 पाप x - 5 कोस x = 7।
आधे कोने में जाएं: 6 पाप (x / 2) · cos (x / 2) - 5 cos ² (x / 2) + 5 sin + (x / 2) = 7 sin ² (x / 2) + 7 cos: (x / 2), जिसके बाद हम सभी शब्दों को एक हिस्से में (बेहतर से दाएं) घटाते हैं और समीकरण को हल करते हैं।

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सहायक कोण की शुरूआत। जब हम cos (a) या sin (a) के पूर्णांक मान को प्रतिस्थापित करते हैं। संकेत "ए" एक सहायक कोण है।

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किसी कार्य को योग में परिवर्तित करने की विधि। यहां उपयुक्त योगों का उपयोग करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, दिए गए: 2 पाप x · पाप 3x = cos 4x।
बाईं ओर एक योग में परिवर्तित करके इसे हल करें, जो है:
cos 4x - cos 8x = cos 4x,
cos 8x = 0,
8x = p / 2 + pk,
x = p / 16 + pk / 8।

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बाद वाली विधि को सार्वभौमिक प्रतिस्थापन कहा जाता है। हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं और एक प्रतिस्थापन बनाते हैं, उदाहरण के लिए, Cos (x / 2) = u, जिसके बाद हम पैरामीटर u के साथ समीकरण को हल करते हैं। परिणाम की प्राप्ति पर हम मूल्य को विपरीत में अनुवाद करते हैं।

टिप 4: पीरियड फंक्शन कैसे पता करें

यदि हम एक वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करते हैं, तो x, x + 2 x, x + 4 etc. आदि बिंदुओं पर विचार करते हैं। एक दूसरे के साथ मेल खाना। इस प्रकार, लाइन पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन समय-समय पर अपने मूल्य को दोहराते हैं। यदि फ़ंक्शन की अवधि ज्ञात है, तो आप इस अवधि पर एक फ़ंक्शन का निर्माण कर सकते हैं और इसे दूसरों पर दोहरा सकते हैं।

अनुदेश

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अवधि एक संख्या T है, जैसे कि f (x) = f (x + T)। अवधि खोजने के लिए, तर्क के लिए x और x + T को प्रतिस्थापित करते हुए संबंधित समीकरण को हल करें। इस मामले में, कार्यों के लिए पहले से ही ज्ञात अवधियों का उपयोग करें। साइन और कोसाइन कार्यों के लिए, अवधि 2 and है, और स्पर्शरेखा और कोटिंगेंट के लिए - ine।

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एक फ़ंक्शन f (x) = sin ^ 2 (10x) दिया जाए। अभिव्यक्ति पाप ^ 2 (10x) = पाप ^ 2 (10 (x + T)) पर विचार करें। डिग्री को कम करने के सूत्र का उपयोग करें: पाप ^ 2 (x) = (1 - cos 2x) / 2। फिर 1 - cos 20x = 1 - cos 20 (x + T) या cos 20x = cos (20x + 20T) प्राप्त करें। यह जानते हुए कि कोसाइन काल 2π, 20T = 2ine है। इसलिए, टी = π / 10। टी - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि, और फ़ंक्शन 2T, और 3T के बाद दोहराया जाएगा, और अक्ष के साथ अन्य दिशा में: -T, -2T, आदि।

अच्छी सलाह है

फ़ंक्शन की डिग्री को कम करने के लिए सूत्रों का उपयोग करें। यदि आप पहले से ही किसी फ़ंक्शन की अवधि जानते हैं, तो मौजूदा फ़ंक्शन को ज्ञात लोगों को कम करने का प्रयास करें।

टिप 5: समता फ़ंक्शन की जांच कैसे करें

समता और विषमता के कार्य का अध्ययन कार्य के ग्राफ का निर्माण करने और उसके व्यवहार की प्रकृति का अध्ययन करने में मदद करता है। इस अध्ययन के लिए, "x" और तर्क "-x" तर्क के लिए लिखे गए इस फ़ंक्शन की तुलना करना आवश्यक है।

टिप 6: त्रिकोणमितीय कार्यों को कैसे हल करें

"ट्रिगोनोमेट्रिक" ने एक बार फ़ंक्शंस को कॉल करना शुरू कर दिया था जो कि इसके किनारों की लंबाई पर एक समकोण त्रिभुज में तेज कोणों की निर्भरता द्वारा निर्धारित होते हैं। इन कार्यों में मुख्य रूप से साइन और कोजाइन शामिल हैं, इन कार्यों के दूसरे - व्युत्क्रम, सेकंड और कोसेकेंट, उनसे प्राप्त स्पर्शरेखा और कॉटंगेंट, साथ ही उलटा फ़ंक्शन आरएक्साइन, आर्कोसिन, आदि। इसके बारे में बोलने के लिए अधिक सही है। उनका "गणना", जो कि एक संख्यात्मक मूल्य खोजने के बारे में है।

अनुदेश

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यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क अज्ञात है, तो इन कार्यों की परिभाषाओं से अप्रत्यक्ष रूप से इसके मूल्य की गणना की जा सकती है। इसके लिए, त्रिकोण के किनारों की लंबाई जानना आवश्यक है, जिनमें से एक कोने के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, परिभाषा के अनुसार, समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन इस कोण के विपरीत पक्ष की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। इस से यह इस प्रकार है कि एक कोण की साइन को खोजने के लिए, इन दोनों पक्षों की लंबाई जानने के लिए पर्याप्त है। इसी तरह की परिभाषा में कहा गया है कि एक तीव्र कोण की तीव्र साइन इस कोण से सटे पैर की लंबाई का अनुपात है जो कर्ण की लंबाई तक है। तीव्र कोण की स्पर्शरेखा की गणना आसन्न एक की लंबाई से पैर के विपरीत पक्ष की लंबाई को विभाजित करके की जा सकती है, और कॉटेजेंट को विपरीत पक्ष की बगल की लंबाई को विभाजित करने की आवश्यकता होती है। एक तीव्र कोण के सेकंड के कोण की गणना करने के लिए, वांछित कोण से सटे पैर की लंबाई के लिए कर्ण की लंबाई का अनुपात खोजना आवश्यक है, और कोसेकेंट को कर्ण की लंबाई के विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात से निर्धारित किया जाता है।

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यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क ज्ञात है, तो आपको त्रिकोण के किनारों की लंबाई जानने की आवश्यकता नहीं है - आप त्रिकोणमितीय कार्यों के मान या कैलकुलेटर की तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा कैलकुलेटर विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के मानक कार्यक्रमों में से है। इसे शुरू करने के लिए, आप कुंजी संयोजन जीत + आर दबा सकते हैं, कैल्क कमांड दर्ज करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। प्रोग्राम इंटरफ़ेस में, "दृश्य" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" चुनें। उसके बाद आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क को दर्ज कर सकते हैं। साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कार्यों की गणना करने के लिए, मान दर्ज करने के बाद संबंधित इंटरफ़ेस बटन (पाप, कॉस, टीजी) पर क्लिक करना और आर्सेन, आर्क कोसाइन और आर्कटेन्जेंट के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, पहले बॉक्स को बॉक्स में चेक करें।

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वैकल्पिक तरीके हैं। उनमें से एक निगमा या Google खोज साइट पर जाना है और वांछित फ़ंक्शन और इसके तर्क को खोज क्वेरी के रूप में दर्ज करना है (उदाहरण के लिए, पाप 0.47)। इन खोज इंजनों में अंतर्निहित कैलकुलेटर हैं, इसलिए इस तरह के अनुरोध को भेजने के बाद, आपको आपके द्वारा दर्ज किए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान प्राप्त होगा।

टिप 7: त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान कैसे खोजें

त्रिकोणमितीय कार्य पहली बार एक समकोण त्रिभुज में अपने पक्षों की लंबाई पर तीव्र कोणों के मानों के सार गणितीय गणनाओं के उपकरण के रूप में उभरे। अब वे मानव गतिविधि के वैज्ञानिक और तकनीकी दोनों क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। दिए गए तर्कों के त्रिकोणमितीय कार्यों की व्यावहारिक गणना के लिए, आप विभिन्न उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं - निम्नलिखित उनमें से कुछ का सबसे सुलभ वर्णन करता है।

अनुदेश

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उदाहरण के लिए, ऑपरेटिंग सिस्टम के साथ डिफ़ॉल्ट रूप से स्थापित कैलकुलेटर प्रोग्राम। यह "मानक" उपधारा से "सिस्टम टूल्स" फ़ोल्डर में "कैलकुलेटर" आइटम की पसंद के साथ खुलता है, "सभी कार्यक्रम" अनुभाग में रखा गया है। यह अनुभाग "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके ऑपरेटिंग सिस्टम के मुख्य मेनू को खोलकर पाया जा सकता है। यदि आप विंडोज 7 के एक संस्करण का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मुख्य मेनू में "फाइंड प्रोग्राम्स एंड फाइल्स" फ़ील्ड में "कैलकुलेटर" शब्द दर्ज कर सकते हैं, और फिर खोज परिणामों में संबंधित लिंक पर क्लिक कर सकते हैं।

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उस कोण का मान दर्ज करें जिसके लिए आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करना चाहते हैं, और फिर इस फ़ंक्शन के अनुरूप बटन पर क्लिक करें - पाप, कॉस या टैन। यदि आप व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों (आर्सेन, आर्क कोसाइन या आर्कटेन्जेंट) में रुचि रखते हैं, तो सबसे पहले Inv पर लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - यह कैलकुलेटर के नियंत्रण बटन को दिए गए कार्यों को विपरीत लोगों में बदलता है।

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ओएस के पुराने संस्करणों में (उदाहरण के लिए, विंडोज एक्सपी), त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करने के लिए, कैलकुलेटर मेनू में "देखें" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" लाइन चुनें। इसके अलावा, कार्यक्रम के पुराने संस्करणों के इंटरफ़ेस में इनवॉइस बटन के बजाय एक ही शिलालेख के साथ एक चेकबॉक्स है।

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आप कैलकुलेटर के बिना कर सकते हैं, यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है। नेटवर्क में कई सेवाएं हैं जो विभिन्न तरीकों से त्रिकोणमितीय कार्यों के कैलकुलेटर की पेशकश करती हैं। उनके सबसे सुविधाजनक विकल्पों में से एक निगमा खोज इंजन में बनाया गया है। अपने मुख्य पृष्ठ की ओर मुड़ते हुए, बस खोज क्वेरी फ़ील्ड में रुचि का मूल्य दर्ज करें - उदाहरण के लिए, "आर्कटिक 30 डिग्री"। "खोजें" पर क्लिक करने के बाद! खोज इंजन गणना के परिणाम की गणना करेगा और दिखाएगा - 0.482347907101025।

टिप 8: त्रिकोणमितीय पहचान क्या हैं

त्रिकोणमिति गणित के अध्ययन की एक शाखा है जो कर्ण में तीव्र कोणों के मूल्यों पर समकोण त्रिभुज के पक्षों की विभिन्न निर्भरता व्यक्त करती है। ऐसे कार्यों को त्रिकोणमितीय कहा जाता था, और उनके साथ काम को सरल बनाने के लिए, त्रिकोणमितीय पहचान प्राप्त की गई थी।

गणित में पहचान की अवधारणा का अर्थ समानता है, जो अपने सदस्य कार्यों के तर्कों के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट है। त्रिकोणमितीय पहचान त्रिकोणमितीय कार्यों की समानताएं हैं, जो त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सुविधाजनक बनाने के लिए सिद्ध और अपनाया गया है। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन तीव्र कर्ण के परिमाण पर एक सही त्रिकोण के पैरों की निर्भरता का एक प्रारंभिक कार्य है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले छह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य हैं: पाप (साइन), कॉस (कोसाइन), tg (स्पर्शरेखा), ctg (cotangent), sec (secant) और cosec (cosecant)। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है, उलटा कार्य भी होते हैं, उदाहरण के लिए, साइन - आर्सेन, कोसाइन - आर्क कोसाइन, आदि। प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्य ज्यामिति में परिलक्षित होते हैं, फिर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में फैल जाते हैं: भौतिकी, रसायन विज्ञान, भूगोल, प्रकाशिकी, संभाव्यता सिद्धांत। साथ ही ध्वनिकी, संगीत सिद्धांत, ध्वनिविज्ञान, कंप्यूटर ग्राफिक्स और कई अन्य। इन कार्यों के बिना गणितीय गणना की कल्पना करना अब मुश्किल है, हालांकि दूर के अतीत में उनका उपयोग केवल खगोल विज्ञान और वास्तुकला में किया गया था। त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग लंबे त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सुविधाजनक बनाने और उन्हें एक पचाने वाले रूप में लाने के लिए किया जाता है। मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान छह हैं, वे प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े हैं: • tg? = sin? / cos?; • sin ^ 2? + cos ^ 2? = 1; • 1 + टीजी ^ 2? = 1 / cos ^ 2 ?; • 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / sin ^ 2?; = बीसी / एसी = बी / सी; क्योंकि? = एबी / एसी = ए / सी; TG? = b / a। पहली पहचान tg? = पाप? / कोस? त्रिभुज में पहलू अनुपात से और कॉस द्वारा पाप को विभाजित करते समय साइड सी (कर्ण) का अपवाद। क्या पहचान ctg को उसी तरह से परिभाषित किया गया है? = cos? / sin? क्योंकि ctg? = 1 / tg।; पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2। हम इस समानता को c ^ 2 से विभाजित करते हैं, हम दूसरी पहचान प्राप्त करते हैं: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => पाप ^ 2? + cos ^ 2? = 1. थर्ड और चौथी पहचान क्रमशः बी ^ 2 और ए ^ 2: ए 2 2 / बी ^ 2 + 1 = सी ^ 2 / बी ^ 2 => टीजी ^ 2 द्वारा विभाजित करके प्राप्त की जाती है? + 1 = 1 / cos ^ 2 ?; 1 + b ^ 2 / a ^ 2 = c ^ 2 / ^ 2 => 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / पाप ^ या 1 + ctg ^ 2? = 1 / sin ^ 2?? पांचवीं और छठी बुनियादी पहचान एक त्रिभुज के समकोण के योग का निर्धारण करके सिद्ध की जाती है, जो कि 90 ° या? / 2 है। अधिक जटिल त्रिकोणमितीय पहचान : तर्क जोड़ने, डबल और ट्रिपल कोण जोड़ने के लिए सूत्र, डिग्री को कम करना, योग को परिवर्तित करना। या फ़ंक्शंस के उत्पाद, साथ ही त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र, अर्थात् आधे त्रिकोण के tg के माध्यम से बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों के भाव: पाप? = (2 * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2)? cos? = (1 - tg ^ 2? / 2) / (1 = tg ^ 2? / 2)? Tg = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2)।

टिप 9: किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम मान कैसे प्राप्त करें

गणितीय फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य खोजने की आवश्यकता व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में व्यावहारिक रुचि है, उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में। व्यापार के लिए बहुत महत्व के नुकसान को कम कर रहा है।

अनुदेश

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फ़ंक्शन के न्यूनतम मूल्य को खोजने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि तर्क x0 असमानता y (x0) 0 y (x) के किस मूल्य पर स्थित है, जहां x of x0। एक नियम के रूप में, यह समस्या एक निश्चित अंतराल पर या फ़ंक्शन के मूल्यों की पूरी श्रृंखला में हल की जाती है, यदि कोई निर्दिष्ट नहीं है। समाधान का एक पहलू स्थिर बिंदुओं का पता लगाना है।

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एक स्थिर बिंदु उस तर्क का मूल्य है जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है। फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, यदि कोई भिन्न फ़ंक्शन एक निश्चित बिंदु पर (इस मामले में, एक स्थानीय न्यूनतम) एक चरम मान लेता है, तो यह बिंदु स्थिर है।

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फ़ंक्शन अक्सर इस बिंदु पर न्यूनतम मूल्य लेता है, लेकिन यह हमेशा निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, सटीकता के साथ यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि फ़ंक्शन का न्यूनतम क्या बराबर है या यह एक असीम रूप से छोटा मान लेता है। फिर, एक नियम के रूप में, वे उस सीमा को पाते हैं जिसके लिए वह कम हो जाता है।

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किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम मान निर्धारित करने के लिए, आपको चार चरणों से मिलकर क्रियाओं का एक क्रम निष्पादित करने की आवश्यकता होती है: फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन खोजना, स्थिर बिंदु प्राप्त करना, इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों का विश्लेषण करना और अंतराल के अंत में, न्यूनतम की पहचान करना।

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तो, एक निश्चित फ़ंक्शन y (x) को बिंदु A और B पर सीमाओं के साथ अंतराल पर दिया जाना चाहिए। इसकी परिभाषा का डोमेन ढूंढें और पता करें कि क्या अंतराल इसका सबसेट है।

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फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें। परिणामी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करें और समीकरण की जड़ों को ढूंढें। जांचें कि क्या ये स्थिर बिंदु अंतराल में आते हैं। यदि नहीं, तो उन्हें अगले चरण में ध्यान नहीं दिया जाता है।

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सीमा के प्रकार के लिए अंतराल पर विचार करें: खुला, बंद, संयुक्त, या अनंत। यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप न्यूनतम मूल्य कैसे खोजते हैं। उदाहरण के लिए, खंड [ए, बी] एक बंद अंतराल है। उन्हें एक समारोह में प्रतिस्थापित करें और मूल्यों की गणना करें। स्थिर बिंदु के साथ भी ऐसा ही करें। न्यूनतम परिणाम का चयन करें।

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खुले और अंतहीन अंतराल के साथ, स्थिति कुछ अधिक जटिल है। यहां हमें एकतरफा सीमाओं की तलाश करनी होगी, जो हमेशा एक अस्पष्ट परिणाम न दें। उदाहरण के लिए, एक बंद और एक छिद्रित सीमा [ए, बी) के साथ अंतराल के लिए, फ़ंक्शन को x = ए और एक तरफा सीमा के लिए y के रूप में x → B-0 के लिए मिलना चाहिए।