लाइनों द्वारा बंधी हुई आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें


वृत्त की परिधि व क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते है ? class 10 learn Maths (जुलाई 2019).

Anonim

एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ एक वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ियम का क्षेत्र है। लाइनों से बंधे एक आंकड़े के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, अभिन्न के गुणों में से एक को लागू किया जाता है, जिसमें एक ही खंड के कार्यों पर एकीकृत क्षेत्रों की संवेदनशीलता शामिल होती है।

अनुदेश

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अभिन्न की परिभाषा के अनुसार, यह किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ द्वारा बंधे एक वक्रताकार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है। जब लाइनों द्वारा बंधे एक आंकड़े के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है, तो हम दो फ़ंक्शन f1 (x) और f2 (x) द्वारा ग्राफ पर परिभाषित वक्रों के बारे में बात कर रहे हैं।

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कुछ अंतराल पर [ए, बी] दो कार्य करें, जो परिभाषित और निरंतर हैं। और ग्राफ के कार्यों में से एक दूसरे के ऊपर स्थित है। इस प्रकार, एक दृश्य आकृति का निर्माण होता है, जो कार्यों की रेखाओं और सीधी रेखाओं x = a, x = b से घिरा होता है।

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फिर आकृति के क्षेत्र को अंतराल [ए, बी] पर कार्यों के अंतर को एकीकृत करने वाले एक सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। अभिन्न की गणना न्यूटन-लिबनीज कानून के अनुसार की जाती है, जिसके अनुसार परिणाम अंतराल के सीमा मानों से अंतरविरोधी कार्य के अंतर के बराबर है।

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Example1।
सीधे रेखाओं y = -1 / 3 · x - x, x = 1, x = 4 और parabola y = -x² + 6 · x - 5 से घिरा हुआ आंकड़ा का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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निर्णय।
सभी लाइनों के रेखांकन बनाएँ। आप देख सकते हैं कि परबोला की रेखा सीधी रेखा y = -1 / 3 · x - line से ऊपर है। नतीजतन, इस मामले में अभिन्न संकेत के तहत पैराबोला समीकरण और दी गई सीधी रेखा के बीच अंतर होना चाहिए। एकीकरण अंतराल, क्रमशः अंक x = 1 और x = 4 के बीच है:
S = (-x = + 6 · x - 5 - (-1 / 3 · x - 1/2)) dx = (-x3 + 19/3 · x - 9/2) dx [1, 4] खंड पर ।

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परिणामी इंटीग्रैंड के लिए अपक्षयी का पता लगाएं:
एफ (-x) + 19 / 3x - 9/2) = -1 / 3x 19 + 19 / 6x² - 9 / 2x।

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खंड के सिरों के मानों को प्रतिस्थापित करें:
एस = (-1 / 3 · 4³ + 19/6 · 4 9 - 9/2 · 4) - (-1 / 3 · 16 + 19/6 · 1² - 9/2 · 1) = 13।

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उदाहरण 2।
Y = x (x + 2), y = x और सीधी रेखा x = 7 से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें।

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निर्णय।
यह कार्य पिछले एक की तुलना में अधिक जटिल है, क्योंकि इसमें एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर दूसरी सीधी रेखा नहीं है। इसका अर्थ है कि अभिन्न की दूसरी सीमा मूल्य अनिश्चित है। इसलिए, यह ग्राफ से पाया जाना चाहिए। निर्दिष्ट लाइनें बनाएँ।

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आप देखेंगे कि सीधी रेखा y = x समन्वित अक्षों के सापेक्ष तिरछे चलती है। और रूट फ़ंक्शन का ग्राफ परबोला का सकारात्मक आधा हिस्सा है। जाहिर है, ग्राफ इंटरसेक्ट पर लाइनें, इसलिए चौराहे का बिंदु एकीकरण की निचली सीमा होगी।

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समीकरण को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
x = ² (x + 2) → x√ = x + 2 [x → -2] → x² - x - 2 = 0।

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विभेदक का उपयोग कर द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करें:
डी = 9 → एक्स 1 = 2; x2 = -1।

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जाहिर है, मूल्य -1 उचित नहीं है, क्योंकि क्रॉसिंग धाराओं के फरस्किसा एक सकारात्मक मूल्य है। नतीजतन, दूसरी एकीकरण सीमा x = 2. है ऊपर के ग्राफ पर फ़ंक्शन y = x फ़ंक्शन y = 2 (x + 2) है, इसलिए अभिन्न में यह पहला होगा।
अंतराल पर परिणामी अभिव्यक्ति को एकीकृत करें [2, 7] और आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
S = (x - √ (x + 2)) dx = (x 2/2 - 2/3 · (x + 2) ^ (3/2))।

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अंतराल मानों को प्रतिस्थापित करें:
एस = (7 ^ / 2 - 2/3 · 9 ^ (3/2)) - (2² / 2 - 2/3 · 4 ^ (3/2)) = 59/6।

  • लाइनों से घिरा क्षेत्र खोजें