टिप 1: किसी फ़ंक्शन को अलग कैसे करें


th - How to pronounce th in English - Part 2 - American English Pronunciation Accent (जून 2019).

Anonim

कार्यों के विभेदीकरण के संचालन का गणित में अध्ययन किया जाता है, जो इसकी मूलभूत अवधारणाओं में से एक है। हालांकि, इसका उपयोग प्राकृतिक विज्ञानों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, भौतिकी में।

अनुदेश

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मूल से प्राप्त फ़ंक्शन को खोजने के लिए भेदभाव की विधि का उपयोग किया जाता है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि की सीमा के तर्क की वृद्धि के अनुपात है। यह व्युत्पन्न का सबसे आम प्रतिनिधित्व है, जिसे आमतौर पर एपोस्ट्रोफ संकेत "'" द्वारा दर्शाया जाता है। फ़ंक्शन को बार-बार अलग करना संभव है, इस प्रकार पहला व्युत्पन्न f '(x), दूसरा f "(x), इत्यादि। उच्च-क्रम डेरिवेटिव का निरूपण f ^ (n) (x)।

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किसी फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, कोई लाइबनिज़ फॉर्मूला का उपयोग कर सकता है: (f * g) ^ (n) =) C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, जहां C (n) ^ k स्वीकार किए गए असमान गुणांक हैं। पहले व्युत्पन्न का सबसे सरल मामला एक ठोस उदाहरण के साथ विचार करना आसान है: f (x) = x ^ 3।

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तो, परिभाषा के अनुसार: f '(x) = lim ((f (x) - f (x_0)) / (x - x_0)) = lim ((x ^ 3 - x_0 ^ 3) / (x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) / (x - x_0)) = lim (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) x को जाता है x_0।

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हम सीमा के संकेत से छुटकारा पा लेते हैं, परिणामस्वरूप एक्स में एक्स_0 के बराबर मूल्य एक्स को प्रतिस्थापित करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: f '(x) = x_0 ^ 2 + x_0 * x_0 + x_0 ^ 2 = 3 * x_0 ^ 2।

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जटिल कार्यों के भेदभाव पर विचार करें। इस तरह के फ़ंक्शंस रचनाएँ या फ़ंक्शंस की सुपरपोज़िशन हैं, अर्थात एक फ़ंक्शन का परिणाम दूसरे के लिए एक तर्क है: f = f (g (x))।

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ऐसे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में रूप होता है: f '(g (x)) = f' (g (x)) * g '(x), अर्थात्। निम्नतम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न द्वारा निम्नतम के तर्क में उच्चतम फ़ंक्शन के उत्पाद के बराबर।

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तीन या अधिक कार्यों की संरचना में अंतर करने के लिए, एक ही नियम को निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार लागू किया जाता है: f '(g (h (x))) = f' (g (h (x))) * (g (h (x))) '= f' (g (h (x))) * g '(h (x)) * h' (x)।

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कुछ सरलतम कार्यों के व्युत्पन्न का ज्ञान अंतर कैलकुलस समस्याओं को हल करने में एक अच्छी मदद है: - स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 है; - पहली डिग्री x '= 1 में तर्क के सबसे सरल कार्य का व्युत्पन्न; - कार्यों के योग का व्युत्पत्ति उनके व्युत्पत्ति का योग है: (x)) '= f' (x) + g '(x); - इसी प्रकार, उत्पाद का व्युत्पन्न व्युत्पन्न उत्पाद के बराबर है; - दो कार्यों के निजी का व्युत्पन्न: (f (x) / g (x))' = (f '(x) ) * g (x) - f (x) * g '(x)) / g ^ 2 (x); - (C * f (x))' = C * f '(x), जहां C एक स्थिरांक है; - विभेदन में, मोनोमियल की डिग्री को गुणक के रूप में बाहर निकाल दिया जाता है, और डिग्री n को ही उन्हें 1: (x ^ a) '= a * x ^ (a-1) के रूप में दिखाया गया है; - अंतर पथरी में त्रिकोणमितीय कार्य sinx और cosx क्रमशः विषम हैं और समान हैं, - (sinx)' = cosx और (cosx ') = - sinx; - (tg x) '= 1 / cos ^ 2 x; - (ctg x)' = - 1 / sin ^ 2 x।

  • ऑनलाइन समारोह में अंतर करें

टिप 2: एक निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे ढूंढें

कार्यों को स्वतंत्र चर के अनुपात से परिभाषित किया गया है। यदि फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाला समीकरण चरों के संबंध में हल करने योग्य नहीं है, तो फ़ंक्शन को अनुमानित रूप से दिया जाना माना जाता है। निहित कार्यों में अंतर करने के लिए एक विशेष एल्गोरिथ्म है।

अनुदेश

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कुछ समीकरण द्वारा परिभाषित निहित फ़ंक्शन पर विचार करें। इसके अलावा, एक स्पष्ट रूप में निर्भरता y (x) को व्यक्त करना असंभव है। समीकरण को F (x, y) = 0 के समीकरण दें। किसी अंतर्निहित फ़ंक्शन से y '(x) के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, पहले चर x के संबंध में समीकरण F (x, y) = 0 को अलग करें, यह देखते हुए कि y x के संबंध में भिन्न है। एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियमों का उपयोग करें।

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व्युत्पन्न y '(x) के संबंध में विभेदन के बाद प्राप्त समीकरण को हल करें। परिणामी निर्भरता चर x के संबंध में निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा।

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सामग्री की सबसे अच्छी समझ के लिए उदाहरण का अध्ययन करें। फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से y = cos (x - y) के रूप में दिया जाता है। समीकरण को फॉर्म y - cos (x - y) = 0 पर कम करें। वेरिएबल x के संबंध में इन समीकरणों को अलग करें, एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम लागू करें। हमें मिलता है, y '+ sin (x - y) × (1 - y') = 0, i.e. y '+ sin (x - y) +y' × sin (x - y) = 0। अब y के लिए परिणामी समीकरण हल करें: y '× (1 - पाप (x - y)) = - sin (x - y)। परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि y '(x) = sin (x - y) sin (sin (x - y) turns1)।

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निम्न के रूप में कई चर के निहित समारोह के व्युत्पन्न का पता लगाएं। चलो एक फ़ंक्शन z (X1, x2)।

, xn) संक्षेप में समीकरण F (X1, x2, ) द्वारा।

, xn, z) = 0। व्युत्पन्न F 'को खोजें। X 1, चर x2 को गिना।

, xn, z स्थिर हैं। इसी तरह, डेरिवेटिव F '| x2, की गणना करें।

, F '| xn, F' | z | उसके बाद, फॉर्म z 'में आंशिक डेरिवेटिव व्यक्त करें।' 'X1 = partialF' | X1 express F '| z, z' | x2 = −F '| x2 in F' | z |

, z '| xn = nF' | xn 'F' | z

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एक उदाहरण पर विचार करें। दो अज्ञात का कार्य z = z (x, y) सूत्र 2x --z - 2z² + yz + = 6x + 6z + 5 द्वारा दिया जाता है। समीकरण को F (x, y, z) = 0: 2x --z - 2z² + yzz - 6x - 6z - 5 = 0 के समीकरण दें। व्युत्पन्न F '| x, y, z को स्थिर मानिए: F' | x = 4xz - 6। इसी प्रकार, व्युत्पन्न एफ '| y = z F, F' | z = 2x 4-4z + 2yz - 6 फिर z '| x = −F' | x 'F' | z = (6x4xz) ² (2x + - 4z + 2yz - 6), और z '| y = −F' | y ÷ F F-z = −z + − (2x² - 4z + 2yz - 6)।

ध्यान दो

अभिलेख F '| x का अर्थ है चर X के संबंध में फ़ंक्शन F के आंशिक व्युत्पन्न की गणना।

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