इंटीग्रल कैसे लें


How to Evaluate Double Integrals - Double Integration - Engineering Mathematics 2 (जून 2019).

Anonim

वर्तमान में, बड़ी संख्या में पूर्णांक कार्य हैं, लेकिन अभिन्न कलन के सबसे सामान्य मामलों पर अलग से विचार करना सार्थक है, जो हमें उच्च गणित के इस क्षेत्र के बारे में कुछ विचार प्राप्त करने की अनुमति देगा।

आपको आवश्यकता होगी

  • - कागज;
  • - कलम।

अनुदेश

1

इस समस्या के विवरण को सरल बनाने के लिए, निम्नलिखित अंकन को पेश किया जाना चाहिए (चित्र 1 देखें)। इंटीग्रल्स इंट (R (x) dx) की गणना पर विचार करें, जहाँ R (x) एक परिमेय फलन या परिमेय भिन्न है, जो दो बहुपदों का अनुपात है: R (x) = Pm (x) / Qn (x) = (b0x ^ m) + b1x ^ (एम -1) +।

+ b (m-1) x + bm) / (a0x ^ m + a1x ^ (m-1) +

+ (n-1) x + a), जहाँ Рm (x) और Qn (x) वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। यदि एम

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अब हमें सही अंशों को एकीकृत करने पर विचार करना चाहिए। उनमें से, निम्नलिखित चार प्रकारों में से सबसे सरल अंशों को प्रतिष्ठित किया गया है: 1। ए / (एक्सए); 2. ए / ((एक्सबी) ^ के), के = 1, 2, 3, ।

; 3. (Ax + B) / (x ^ 2 + 2px + q), qp ^ 2> 0; 4. (Cx + D) / ((x ^ 2 + 2mx + n)) ^ s, जहां nm ^ 2> 0, s = 1, 2, 3, ।

। बहुपद x ^ 2 + 2px + q की कोई वास्तविक जड़ नहीं है, क्यूपी ^ 2> 0 के बाद से। अनुच्छेद 4 में स्थिति समान है।

3

सबसे सरल तर्कसंगत अंशों को एकीकृत करने पर विचार करें। 1 और 2 प्रकार के अंशों के अभिन्न अंग की गणना सीधे की जाती है: int (A / (xa)) dx = A / ln | xa | + सी; int (A / ((xb) ^ k) dx = - (1 / (k-1)) A / ((xb) ^ (k-1) + C, C = const। 3 प्रकार के एक अंश के अभिन्न की गणना। कम से कम विशिष्ट उदाहरणों को अंजाम देना अधिक समीचीन है क्योंकि यह सरल है। इस लेख में 4 प्रकार के अंशों पर विचार नहीं किया गया है।

4

किसी भी नियमित परिमेय अंश को सरलतम अंशों की परिमित संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है (इसका अर्थ है कि बहुपद Qn (x) रैखिक और द्विघात कारकों के उत्पाद में विघटित हो जाता है) .Um (x) / Qn (x) = A / (xa)। + A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 +।

+ अक / (xb) ^ k +।

+ (Mx + N) / (x ^ 2 + 2px + q) + + (M1x + N1) / (x ^ 2 + 2mx + n) +।

+ (Mrx + Nr) / (x ^ 2 + 2mx + n) ^ r। उदाहरण के लिए, यदि (xb) ^ 3 उत्पाद Qn (x) के अपघटन में दिखाई देता है, तो सबसे सरल अंशों का योग तीन शब्दों को जोड़ देगा A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 + A3 / (xb) ^ 3. अगला चरण अंशों के योग में वापस आना है, अर्थात एक सामान्य हर में लाने के लिए। इसी समय, बाईं ओर के अंश में "सही" अंश होता है, और दाईं ओर - अपरिभाषित गुणांक वाले अंश। चूंकि भाजक समान हैं, इसलिए संख्यात्मक एक दूसरे के बराबर होना चाहिए। इस मामले में, सबसे पहले, नियम का उपयोग करना आवश्यक है कि बहुपद एक दूसरे के बराबर हैं, यदि उनके गुणांक समान डिग्री के लिए समान हैं। ऐसा निर्णय हमेशा सकारात्मक परिणाम देगा। इसे कम किया जा सकता है, भले ही अनिश्चित गुणांक वाले एक बहुपद में लाने से पहले, कुछ घटकों के शून्य का "पता लगाने" में सक्षम हो।

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एक उदाहरण है। Int ((x / (1-x ^ 4)) dx) का पता लगाएं। उत्पाद में भिन्न के हर का विस्तार करें। 1-x ^ 4 = (1-x) (1 + x) (x ^ 2 + 1)। (x ^ 2) / (1-x ^ 4) = A / (1-x) + B / (x + 1) + (Cx + D) / (x ^ 2 + 1)। किसी सामान्य हर के लिए राशि दें। समानता के दोनों भागों में अंशों के अंशों को बराबर करें। X = A (x + 1) (x ^ 2 + 1) + B (1-x) (x ^ 2 + 1) + (Cx + D) (1-x ^ 2) ध्यान दें कि जब x = 1: 1 = 4A, A = 1 / 4. जब x = - 1: -1 = 4V, B = -1 / 4. x ^ 3: ABC = 0 के साथ गुणांक, इसलिए C = 1 / 2. गुणांक x ^ 2: A + BD = 0 और D = 0 पर। x / (1-x ^ 4) = - (1/4) (1 / (x + 1)) - (1/4) / (x-1) + (1/2) (x / (x ^ 2) +1))। इंट (x / (1-x ^ 4)) dx) = - (1/4) int ((1 / (x + 1)) dx) - (1/4) int (1 /) (x-1)) dx) + (1/4) int ((1 / (x ^ 2 + 1)) d (x ^ 2 + 1) == - - (1/4) ln | x + 1 | | (1/4) ln | x-1 | + (1/4) ln (x ^ 2 + 1) + C = (1/4) ln | (x ^ 2 + 1) / (x ^ 2-1) | + सी।

अच्छी सलाह है

साहित्य। पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। कॉलेजों के लिए पाठ्यपुस्तक। Т.1.-М।: विज्ञान, 1972.-576 पी।