टिप 1: समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें


Triangle - त्रिभुज- ( Hindi - हिंदी) (जुलाई 2019).

Anonim

जैसा कि आकृति में देखा जा सकता है, त्रिभुज समद्विबाहु है, जिनमें से दो पक्ष बराबर हैं। आप समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, इसके आधार और ऊंचाई की लंबाई या इसके आधार की लंबाई और त्रिभुज के किसी भी पक्ष को जान सकते हैं।

आपको आवश्यकता होगी

  • - समद्विबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामितीय सूत्र:
  • S = 1/2 x b x h, जहाँ:
  • - S त्रिभुज ABC का क्षेत्र है,
  • - b - इसके आधार वक्ताओं की लंबाई,
  • - एच - इसकी ऊंचाई की लंबाई।

अनुदेश

1

समद्विबाहु त्रिभुज ABC के स्पीकर के आधार की लंबाई को मापें, आमतौर पर त्रिभुज के आधार की लंबाई समस्या के संदर्भ में दी गई है। आधार की लंबाई 6 सेमी होने दें। समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई मापें। ऊँचाई एक ऐसा खंड है जो अपने आधार पर एक त्रिभुज के शीर्ष से खींचा जाता है। समस्या की स्थितियों द्वारा ऊंचाई h = 10 सेमी

2

सूत्र का उपयोग करके समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करें। ऐसा करने के लिए, स्पीकर के आधार की लंबाई को आधा: 6/2 = 3 सेमी में विभाजित करें। इसलिए, 1/2 बी = 3 सेमी। त्रिकोण के स्पीकर के आधार की लंबाई से आधी लंबाई एच 3 x 10 = 30 सेमी से गुणा करें। इस प्रकार, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इसके आधार और ऊंचाई की लंबाई के साथ एबीसी। यदि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, ऊंचाई की लंबाई अज्ञात है, लेकिन त्रिकोण के किनारे की लंबाई दी गई है, तो पहले सूत्र h = 1/2 · √ (4-22 - b2) का उपयोग करके समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई का पता लगाएं।

3

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई की गणना इसके किनारों और आधार की लंबाई के साथ करें। आज्ञा देना एक समद्विबाहु त्रिभुज के किसी भी पक्ष की लंबाई हो; समस्या की स्थितियों के अनुसार यह 10 सेमी है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के पक्षों और आधार की लंबाई के मानों को सूत्र में सूत्रबद्ध करते हुए, इसकी ऊंचाई h = 1 / 2х√ (4х100 - 36) = 10 सेमी की लंबाई का पता लगाएं। समद्विबाहु की ऊंचाई की गणना करके त्रिभुज का, उसकी ऊँचाई और आधार के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निर्दिष्ट सूत्र में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, गणनाएँ जारी रखें।

ध्यान दो

समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊँचाई मध्यमा और त्रिभुज का द्विभाजक होता है।
समद्विबाहु त्रिभुज के दो कोण बराबर हैं।

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टिप 2: त्रिकोण की ऊंचाई की गणना कैसे करें

विपरीत दिशा की दिशा में त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई रेखा और इसे लंबवत त्रिकोण की ऊंचाई कहा जाता है। विपरीत पक्ष को आधार कहा जाता है, और चूंकि एक त्रिभुज की तीन चोटियां और किनारे हैं, इसलिए विभिन्न ठिकानों पर कई ऊंचाइयां हैं। त्रिकोण के ज्ञात मापदंडों के आधार पर, आप ऊंचाई की गणना करने के लिए विभिन्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, जिनमें से कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं।

अनुदेश

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किसी त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सूत्र H = 2 * S / A का उपयोग करें यदि उसका क्षेत्रफल (S) और कोण के विपरीत पक्ष की लंबाई जहाँ से ऊँचाई खींची गई है (A) ज्ञात हैं। इस पक्ष को आधार कहा जाता है, और ऊंचाई को "आधार ऊंचाई ए" (हा) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 40 वर्ग सेंटीमीटर है, और आधार की लंबाई 10 सेमी है, तो ऊंचाई की गणना निम्नानुसार की जाएगी: 2 * 40/10 = 8 सेमी।

2

यदि आधार की लंबाई ज्ञात नहीं है, लेकिन इसके (B) से सटे पक्ष की लंबाई और आधार और इस पक्ष (γ) के बीच के कोण को जाना जाता है, तो ऊंचाई (Ha) को ज्ञात कोण की सीमा द्वारा इस तरफ की लंबाई के आधे उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: Ha = B * पाप (γ)। उदाहरण के लिए, यदि बगल की लंबाई 10 सेमी है, और कोण 40 ° है, तो ऊंचाई की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: 10 * पाप (40 °) = 10 * 0.643 = 6.43 सेमी।

3

यदि त्रिभुज (A, B और C) के तीनों किनारों की लंबाई और उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात (r) है, तो दोनों ओर से खींची गई ऊँचाई को उत्कीर्ण वृत्त त्रिज्या के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और आधार लंबाई से विभाजित त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का योग। उदाहरण के लिए, साइड ए से खींची गई ऊंचाई के लिए, यह सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: हा = आर * (ए + बी + सी) / ए।

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यह पिछले सूत्र से इस प्रकार है कि परिधि की लंबाई (P), आधार लंबाई (A), और एक त्रिभुज (r) में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो तो सभी पक्षों की लंबाई जानना आवश्यक नहीं है। फिर, आधार ऊंचाई ए की गणना करने के लिए, यह खुदा हुआ सर्कल के त्रिज्या द्वारा परिधि की लंबाई को गुणा करने और आधार लंबाई से विभाजित करने के लिए पर्याप्त होगा: हा = आर * पी / ए।

5

यदि, अंकित वृत्त की त्रिज्या के बजाय, वर्णित (R) की त्रिज्या और त्रिभुज (A, B और C) के सभी पक्षों की लंबाई ज्ञात है, तो किसी भी आधार के साथ ऊँचाई का पता लगाने के लिए, सभी पक्षों की लंबाई गुणा करें, और परिणाम को वृत्त के त्रिज्या के दोगुने उत्पाद से विभाजित करें। । उदाहरण के लिए, साइड ए से खींची गई ऊंचाई के लिए, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: हा = ए * बी * सी / (2 * आर * ए)।

  • त्रिकोण ऊंचाई की गणना

टिप 3: समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र कैसे ज्ञात करें

समद्विबाहु को एक ऐसा त्रिभुज कहा जाता है, जिसके दोनों किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं। एक मनमाना त्रिकोण के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए किए गए सभी सूत्र समद्विबाहु के लिए भी मान्य हैं। हालाँकि, समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्र के सूत्र एक सरल रूप होते हैं और कभी-कभी गणना में अधिक सुविधाजनक होते हैं।

आपको आवश्यकता होगी

  • त्रिकोणमितीय संबंध

अनुदेश

1

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई आमतौर पर लंबित लंबाई को "असमान" की ओर ले जाती है, और आधार का अर्थ है इस पक्ष की लंबाई। समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए , इसके द्वारा भुजाओं की लम्बाई, c द्वारा आधार की लम्बाई और c द्वारा ऊँचाई की लम्बाई को बराबर करें। इस स्थिति में, क्षेत्र (P) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा: P =, * s * in

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आधार के पार समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और समान भुजा की लंबाई का सूत्र ज्ञात करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय और इस तथ्य का उपयोग करें कि आधार आधे से ऊंचाई में विभाजित है। यह ऊँचाई के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को बताता है: c = ² (a² - s 4/4), इसे उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, आपको मिलता है: P = ½ * s * √ (a² - s² / 4)।

3

हेरोन के फार्मूले के आधार पर एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई इस तथ्य पर ध्यान देती है कि उनमें से दो समान हैं। संक्षिप्त रूप की एक श्रृंखला के बाद, यह पता चलेगा: P = s * s * ([(a - ½s) * (a + (s)]। यह देखना आसान है कि दोनों सूत्र समान हैं, क्योंकि पहले सूत्र में वर्गों का अंतर बस योग और अंतर के उत्पाद में विघटित होता है।

4

कैच वैल्यू के संदर्भ में समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र ज्ञात करने के लिए, नामित करें:
α समान पक्षों और आधार के बीच का कोण है;
.- समान पक्षों के बीच का कोण। फिर, प्राथमिक त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करते हुए, आपको मिलता है: P = ½ * a * s * cos (* / 2), P = ½ * s * a sin (α / 2), P = = * с * / tg (γ / 2), П = ² * с t * tg (α / 2), П = а, * पाप (γ / 2) * cos (γ / 2), П = а² * sin (α / 2) ) * कॉस (α / 2),

5

उपरोक्त सूत्र समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी मूल विकल्पों को कवर करते हैं। हालाँकि, अगर हम मानते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई एक ही समय में उसके उभयलिंगी और मध्ययुगीन है, तो हम एक जोड़े को और अधिक सूत्र "व्युत्पन्न" कर सकते हैं, जिसमें प्रतिस्थापित
पी = s * एस * में
मंझला या द्विभाजक के पदनाम पर ऊंचाई पदनाम।

  • त्रिभुज सूत्र का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

टिप 4: समद्विबाहु त्रिकोण के किनारे की गणना कैसे करें

समद्विबाहु या समद्विबाहु को एक त्रिभुज कहा जाता है, जिसमें दोनों पक्षों की लंबाई समान होती है। यदि आपको इस तरह के आंकड़े के पक्षों में से एक की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप पक्षों में से एक की लंबाई या परिधि के त्रिज्या के संयोजन में कोणों के ज्ञान का उपयोग कर सकते हैं। बहुभुज के इन मापदंडों को साइन, कोसाइन और कुछ अन्य निरंतर संबंध प्रमेयों द्वारा परस्पर जोड़ा जाता है।

अनुदेश

1

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई की गणना करने के लिए (ख) आधार लंबाई (क) स्थितियों से ज्ञात और इसके समीप के कोण (α) का उपयोग करते हुए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करें। यह इस प्रकार है कि आपको शर्तों में दिए गए कोण के डबल कोसाइन द्वारा ज्ञात पक्ष की लंबाई को विभाजित करना चाहिए: b = a / (2 * cos (α))।

2

उलटे ऑपरेशन के लिए एक ही प्रमेय लागू करें - ज्ञात पक्ष लंबाई (बी) से आधार लंबाई (ए) और दोनों पक्षों के बीच कोण (α) की गणना। इस मामले में, प्रमेय हमें एक समानता प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिसके दाहिने हिस्से में ज्ञात पक्ष की लंबाई और कोण के कोसाइन के दो बार उत्पाद होते हैं: a = 2 * b * cos (α)।

3

यदि, पक्षों की लंबाई (बी) के अलावा, उनके (given) के बीच का कोण शर्तों में दिया गया है, तो आधार (ए) की लंबाई की गणना करने के लिए, साइन प्रमेय का उपयोग करें। इससे सूत्र का पालन होता है, जिसके अनुसार ज्ञात कोण के आधे हिस्से की लंबाई को दोगुनी होनी चाहिए: a = 2 * b * sin (β / 2)।

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साइन प्रमेय का उपयोग समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा (b) की लंबाई का पता लगाने के लिए भी किया जा सकता है, यदि आधार की लंबाई (a) और विपरीत कोण (β) का मान ज्ञात हो। इस मामले में, ज्ञात कोण के आधे हिस्से की साइन को दोगुना करें और आधार की लंबाई के आधार पर विभाजित करें: बी = ए / (2 * पाप (β / 2))।

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यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जाता है, तो त्रिज्या (आर) ज्ञात है, जो पक्षों की लंबाई की गणना करने के लिए, आपको आंकड़ा के शीर्ष पर एक कोण पर कोण को जानना होगा। यदि स्थितियां पक्षों (calculate) के बीच के कोण के बारे में जानकारी प्रदान करती हैं, तो बहुभुज के आधार (a) की लंबाई त्रिज्या और इस कोण के साइन के गुणन की गणना करें: a = 2 * R * sin (β)। यदि कोण को आधार (α) पर दिया गया है, तो पक्ष की लंबाई (बी) को खोजने के लिए, बस इस सूत्र में कोण को बदलें: b = 2 * R * sin (α)।

टिप 5: दोनों तरफ त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

कभी-कभी जीवन में आपको ऐसी परिस्थितियों का सामना करना पड़ता है जिसमें ज्यामिति से ज्ञान की आवश्यकता होती है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसी जानकारी का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, इसलिए इसे भुला दिया जाता है। पूछे जाने वाले प्रश्नों में से एक अपने दो पक्षों की लंबाई का उपयोग करके एक त्रिकोण के क्षेत्र की खोज है।

आपको आवश्यकता होगी

  • - शासक;
  • - प्रोट्रैक्टर;
  • - कैलकुलेटर।

अनुदेश

1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसकी दो भुजाओं की लंबाई के साथ गणना की जाती है, उनके बीच के कोण को मापने की भी आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, प्रोट्रैक्टर या अन्य विशेष उपकरणों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, मलका एक कमरे में कोणों को मापने के लिए बहुत सुविधाजनक है।

2

जब आप त्रिभुज के दोनों किनारों का आकार और उनके बीच का कोण पा लेते हैं, तो गणना पर जाएं। क्षेत्र निम्नलिखित सूत्र के अनुसार पाया जाना चाहिए: Sc abc = 1/2 ab पाप कोण। इस स्थिति में, यदि आपके पास दो ज्ञात पक्षों के बीच त्रिभुज में समकोण है, तो सूत्र को कम किया जा सकता है: S∆ abc = 1/2 ab।

3

एक कोण की साइन की गणना करने के लिए, आप ब्रैडिस त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां मान कोण के सबसे सामान्य आकारों के लिए दिए गए हैं। कोण की साइन की गणना करने का एक और अच्छा तरीका एक कैलकुलेटर है। प्रत्येक विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में, यह मानक कार्यक्रमों में से है। इसे खोलें और "इंजीनियरिंग" मोड पर जाएं, जो "व्यू" अनुभाग में स्थित है। फिर कोण के आकार में प्रवेश करें, जिस साइन की आप गणना करना चाहते हैं। अगला, गणना की गई प्रतिक्रिया के लिए इकाइयों का चयन करें। ये डिग्री, रेडियन या खुशी हो सकते हैं। यह इनपुट फ़ील्ड के नीचे बटन का उपयोग करके किया जा सकता है। "पाप" कुंजी दबाएं और परिणाम प्राप्त करें।

4

बेशक, आज कोण की साइन को उपयोगकर्ता के अनुकूल इंटरफेस और महान कार्यक्षमता के साथ विभिन्न उन्नत ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की जा सकती है। इंटरनेट पर इस तरह के कार्यक्रम को खोजना मुश्किल नहीं है, क्योंकि वे बहुत कुछ प्रदान करते हैं। बस खोज इंजन में प्रवेश करें "त्रिकोणमितीय कार्यों का कैलकुलेटर।"

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अब त्रिकोण के दोनों किनारों की लंबाई और उनके बीच के कोण के साइन को गुणा करें, सब कुछ 2 से विभाजित करें और उत्तर तैयार है। त्रिभुज का क्षेत्रफल पाया जाता है।

ध्यान दो

एक त्रिभुज तीन बिंदुओं के खंडों को जोड़कर बनता है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। इन बिंदुओं को एक त्रिभुज के कोने कहा जाता है, और खंड पक्ष हैं।