टिप 1: फ़ंक्शन के ग्राफ़ में स्पर्शरेखा के समीकरण को कैसे खोजें

Coordinate Geometry part -3 | Straight Line सरल रेखा समीकरण (अप्रैल 2019).

Anonim

इस निर्देश में इस सवाल का जवाब है कि फ़ंक्शन के ग्राफ में स्पर्शरेखा के समीकरण को कैसे खोजना है। एक संपूर्ण संदर्भ दिया गया है। सैद्धांतिक गणना के आवेदन का एक ठोस उदाहरण पर विश्लेषण किया जाता है।

अनुदेश

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संदर्भ सामग्री।
शुरू करने के लिए, हम एक स्पर्शरेखा की परिभाषा देते हैं। किसी दिए गए बिंदु M पर वक्र की स्पर्शरेखा को secant NM की सीमा स्थिति कहा जाता है, जब बिंदु N, बिंदु M पर वक्र के साथ पहुंचता है।
फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण का पता लगाएं।

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बिंदु M पर स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक का निर्धारण करें।
फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ का प्रतिनिधित्व करने वाला वक्र बिंदु M (बिंदु M स्वयं सहित) के एक निश्चित पड़ोस में निरंतर है।
आइए हम secant MN1 बनाते हैं, जो अक्ष α की सकारात्मक दिशा के साथ कोण α बनाता है।
बिंदु M (x; y) के निर्देशांक, बिंदु N1 (x + ∆OF; y + yy) के निर्देशांक।
प्राप्त त्रिभुज MN1N से, कोई भी इस धर्मनिरपेक्षता का ढलान पा सकता है:
tg α = Δy / x
MN = ∆x
एनएन 1 = ∆y
जैसे ही बिंदु N1 वक्र M से M की ओर बढ़ता है, secant MN1 बिंदु M के चारों ओर घूमता है, और कोण α स्पर्शक MT और अक्ष ऑक्सी की धनात्मक दिशा के बीच के कोण पर चला जाता है।
k = tg = =〗 lim t Δ (→x → 0) ϕ ϕ Δy /'x = f '(x)
इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक स्पर्शरेखा बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है।

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किसी दिए गए बिंदु M पर दिए गए वक्र के स्पर्शरेखा के समीकरण का रूप है:
y - y0 = f '(x0) (x - x0),
जहाँ (x0; y0) स्पर्शरेखा बिंदु के निर्देशांक हैं,
(x; y) - वर्तमान निर्देशांक, अर्थात्। एक स्पर्शरेखा से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक
f '(x0) = k = tg α - स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक।

4

उदाहरण द्वारा स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात कीजिए।
फ़ंक्शन के ग्राफ को देखते हुए y = x2 - 2x। हमें अनुपस्थित x0 = 3 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने की आवश्यकता है।
इस वक्र के समीकरण से, हम स्पर्शरेखा बिंदु y0 = 32 - 2 = 3 = 3 का समन्वय पाते हैं।
हम व्युत्पन्न पाते हैं, और फिर हम x0 = 3 बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करते हैं।
हमारे पास है:
y '= 2x - 2
f '(3) = 2 ∙ 3 ​​- 2 = 4।
अब, वक्र पर बिंदु (3; 3) और कोणीय गुणांक f '(3) = 4 को इस बिंदु पर जानने पर, हमें वांछित समीकरण मिलता है:
y - 3 = 4 (x - 3)
या
y - 4x + 9 = 0

टिप 2: स्पर्शरेखा समीकरण कैसे खोजें

बीजगणित पर 11 वीं कक्षा की पाठ्यपुस्तक में, छात्र डेरिवेटिव विषय के माध्यम से जाते हैं। और इस बड़े पैराग्राफ में यह स्पष्ट करने के लिए एक विशेष स्थान दिया गया है कि ग्राफ में स्पर्शरेखा क्या है, और इसका समीकरण कैसे खोजें और कैसे बनाएं

अनुदेश

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एक फ़ंक्शन y = f (x) और एक निश्चित बिंदु M को निर्देशांक a और f (a) के साथ दें। और यह बता दें कि f '(a) मौजूद है। स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना कीजिए। यह समीकरण, किसी भी अन्य सीधी रेखा के समीकरण की तरह, जो निर्देशांक की धुरी के समानांतर नहीं है, के पास y = kx + m है, इसलिए, इसे बनाने के लिए, अज्ञात k और m को खोजना आवश्यक है। ढलान स्पष्ट है। यदि M ग्राफ के अंतर्गत आता है और यदि उसमें से एक स्पर्शरेखा को खींचना संभव है, तो फरशिरा अक्ष के लंबवत नहीं है, तो ढलान k f ('a) के बराबर है। अज्ञात मीटर की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित रेखा बिंदु एम से गुजरती है। इसलिए, यदि हम बिंदु के निर्देशांक को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें वास्तविक समानता f (a) = ka + m मिलती है। इसलिए हम पाते हैं कि m = f (a) -ka। यह केवल एक सीधी रेखा के समीकरण में गुणांक के मूल्यों को स्थानापन्न करने के लिए रहता है।
y = kx + m
y = kx + (f (a) -ka)
y = f (a) + f '(a) (xa)
इससे यह निम्नानुसार है कि समीकरण में y = f (a) + f '(a) (xa) है।

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विशिष्ट एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए। सबसे पहले, x को ए के साथ लेबल करें। दूसरा, f (a) की गणना करें। तीसरा, एक्स के व्युत्पन्न का पता लगाएं और एफ '(ए) की गणना करें। और आखिर में, सूत्र y = f (a) + f '(a) (xa) में पाया गया a, f (a) और f' (a) का विकल्प चुनें।

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एल्गोरिथ्म का उपयोग करने के तरीके को बेहतर ढंग से समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। फ़ंक्शन y = 1 / x के लिए x = 1 पर एक स्पर्शरेखा समीकरण बनाएं।
इस समस्या को हल करने के लिए, समीकरण संकलन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें। लेकिन एक ही समय में, ध्यान रखें कि इस उदाहरण में, फ़ंक्शन f (x) = 2-х x3 दिया गया है, a = 0।
1. समस्या की स्थिति बिंदु के मूल्य को इंगित करती है a;
2. इसलिए, एफ (ए) = 2-0-0 = 2;
3. f '(x) = 0-1-3x = -1-3x; f '(a) = - 1;
4. ग्राफ में समीकरण स्पर्शरेखा में पाए गए संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:
y = f (a) + f '(a) (xa) = 2 + (- 1) (x 0) = 2 x।
उत्तर: y = 2

अच्छी सलाह है

पुष्टि करने के लिए, आप फ़ंक्शन और मिली लाइन को प्लॉट कर सकते हैं।

टिप 3: स्पर्शरेखा समीकरण कैसे लिखें

वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जो किसी दिए गए बिंदु पर इस वक्र के समीप होती है, अर्थात्, इसके माध्यम से गुजरती है ताकि इस बिंदु के चारों ओर एक छोटे से क्षेत्र में, आप सटीकता के बहुत नुकसान के बिना वक्र को स्पर्शरेखा रेखा से बदल सकें। यदि यह वक्र किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ है, तो इसके लिए स्पर्शरेखा का निर्माण एक विशेष समीकरण द्वारा किया जा सकता है।

अनुदेश

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मान लीजिए आपके पास किसी फंक्शन का ग्राफ है। इस ग्राफ पर दो बिंदुओं के माध्यम से, आप एक रेखा खींच सकते हैं। ऐसी रेखा जो किसी दिए गए फलन के ग्राफ को दो बिंदुओं पर काटती है, एक धर्मनिष्ठ कहलाता है।
यदि, पहले बिंदु को जगह में छोड़ते हुए, धीरे-धीरे दूसरे बिंदु को अपनी दिशा में आगे बढ़ाते हैं, तो धीरे-धीरे सेकंड को मोड़ना शुरू हो जाएगा, कुछ विशेष स्थिति के लिए प्रयास करना। अंत में, जब दो बिंदु एक में विलीन हो जाते हैं, तो सेकंड उस एकल बिंदु पर आपके ग्राफिक पर पूरी तरह से फिट हो जाएगा। दूसरे शब्दों में, सेक्रेटर एक स्पर्शरेखा में बदल जाएगा।

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समन्वित समतल पर कोई भी झुकाव (जो लंबवत नहीं है) रेखा समीकरण y = kx + b का एक ग्राफ है। अंक (X1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाले सेक्रेटरी को शर्तों का पालन करना चाहिए:
kx1 + b = y1, kx2 + b = y2।
दो रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हमें यह मिलता है: kx2 - kx1 = y2 - y1। इस प्रकार, k = (y2 - y1) / (x2 - X1)।

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जब X1 और x2 के बीच की दूरी शून्य हो जाती है, तो अंतर अंतर बन जाते हैं। इस प्रकार, बिंदु (x0, y0) से गुजरने वाले स्पर्शरेखा के समीकरण में गुणांक k willy0 / ∂x0 = f '(x0) के बराबर होगा, अर्थात, बिंदु x पर फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का मान होगा।

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गुणांक b को खोजने के लिए, हम पहले से गणना की गई मान k को समीकरण f '(x0) * x0 + b = f (x0) में प्रतिस्थापित करते हैं। B के लिए इस समीकरण को हल करते हुए, हम उस b = f (x0) - f '(x0) * x0 प्राप्त करते हैं।

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बिंदु x0 पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण का अंतिम संस्करण इस तरह दिखता है:
y = f '(x0) * (x - x0) + f (x0)।

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उदाहरण के रूप में, बिंदु x0 = 3. फंक्शन पर स्पर्श समारोह (x) = x ^ 2 के स्पर्शरेखा के समीकरण पर विचार करें। x ^ 2 का व्युत्पन्न 2x है। इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण रूप लेता है:
y = 6 * (x - 3) + 9 = 6x - 9।
इस समीकरण की शुद्धता को सत्यापित करना आसान है। मूल yabola के रूप में लाइन y = 6x - 9 का ग्राफ एक ही बिंदु (3; 9) से गुजरता है। दोनों ग्राफों का निर्माण करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह रेखा इस बिंदु पर परबोला के निकट वास्तव में है।

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इस प्रकार, फंक्शन के ग्राफ में x0 पर केवल एक स्पर्शरेखा होती है, यदि उस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। यदि बिंदु x0 पर फ़ंक्शन में दूसरी तरह की एक असंगति है, तो स्पर्शरेखा एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख में बदल जाती है। हालाँकि, x0 पर व्युत्पन्न का मात्र अस्तित्व इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा के अपरिहार्य अस्तित्व की गारंटी नहीं देता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) = | x | बिंदु पर x0 = 0 निरंतर और अलग है, लेकिन इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा को खींचना असंभव है। इस मामले में मानक सूत्र समीकरण y = 0 देता है, लेकिन यह सीधी रेखा मॉड्यूल के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा नहीं है।

  • स्कूल मठ - स्पर्शरेखा समीकरण
  • एक स्पर्शरेखा समीकरण बनाएं

टिप 4: टच पॉइंट एब्सिस्सा कैसे खोजें

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करते समय, "स्पर्शरेखा के बिंदु के फरस्किसा" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। यह मान शुरू में समस्या की स्थितियों में निर्धारित किया जा सकता है या इसे स्वतंत्र रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए।

अनुदेश

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सेल एक्स और वाई में शीट पर ड्रा करें। फ़ंक्शन ग्राफ के लिए दिए गए समीकरण की जांच करें। यदि यह रैखिक है, तो यह किसी भी x के लिए पैरामीटर y के लिए दो मान जानने के लिए पर्याप्त है, फिर समन्वय अक्ष पर पाए गए बिंदुओं का निर्माण करें और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ दें। यदि ग्राफ गैर-रैखिक है, तो x पर y की निर्भरता की तालिका बनाएं और साजिश रचने के लिए कम से कम पांच बिंदुओं का चयन करें।

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फ़ंक्शन को प्लॉट करें और समन्वय अक्षों पर स्पर्शरेखा बिंदु डालें। यदि यह फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है, तो इसका एक्स-समन्वय अक्षर "ए" के बराबर है, जो स्पर्शरेखा बिंदु के एब्सिसा को दर्शाता है।

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मामले के लिए स्पर्शरेखा बिंदु के अनुपस्थिति मूल्य को निर्धारित करें जब दिए गए स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ मेल नहीं खाते हैं। तीसरे पैरामीटर को "ए" अक्षर के साथ सेट करें।

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फ़ंक्शन f (a) का समीकरण लिखिए। ऐसा करने के लिए, x के बजाय मूल समीकरण में x को प्रतिस्थापित करें। फ़ंक्शन f (x) और f (a) के व्युत्पन्न का पता लगाएं। स्पर्शरेखा के सामान्य समीकरण में आवश्यक डेटा को प्रतिस्थापित करें, जिसका रूप है: y = f (a) + f '(a) (x - a)। नतीजतन, समीकरण प्राप्त करें, जिसमें तीन अज्ञात पैरामीटर शामिल हैं।

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एक्स और वाई के बजाय इसमें दिए गए बिंदु के निर्देशांक को स्पर्श करें, जिसके माध्यम से स्पर्शरेखा गुजरती है। उसके बाद, सभी के लिए परिणामी समीकरण का हल खोजें। यदि यह चौकोर है, तो स्पर्शरेखा बिंदु के एब्सिस्सा के दो मूल्य होंगे। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन ग्राफ़ के चारों ओर दो बार गुजरती है।

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किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ और एक समानांतर रेखा खींचना, जो समस्या की स्थिति के अनुसार दिए गए हैं। इस मामले में, अज्ञात पैरामीटर को सेट करना और इसे एफ (ए) समीकरण में स्थानापन्न करना भी आवश्यक है। F (a) के व्युत्पन्न का समीकरण एक समीकरण के व्युत्पन्न के लिए एक सीधी रेखा के समानांतर करें। यह क्रिया दो कार्यों की समानता की स्थिति से परे है। परिणामी समीकरण की जड़ों का पता लगाएं, जो स्पर्शरेखा बिंदु का अनुपस्थिति होगा।

टिप 5: स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को कैसे खोजें

सीधी रेखा y = f (x) बिंदु x0 पर आकृति में दिखाए गए ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा होगी यदि यह निर्देशांक (x0; f (x0)) के साथ बिंदु से गुजरती है और ढलान f '(x0) है। इस तरह के गुणांक को खोजना, स्पर्शरेखा की विशेषताओं को जानना आसान है।

आपको आवश्यकता होगी

  • - गणितीय संदर्भ;
  • - एक साधारण पेंसिल;
  • - नोटबुक;
  • - प्रोट्रैक्टर;
  • - कम्पास;
  • - कलम।

अनुदेश

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ध्यान दें कि x में विभेदित फ़ंक्शन f (x) का ग्राफ स्पर्शरेखा खंड से अलग नहीं है। इसे देखते हुए, यह सेगमेंट l के करीब पर्याप्त रूप से होता है जो अंकों (x0; f (x0)) और (x0 + Δx; f (x0 + Δx)) से होकर गुजरता है। गुणांक (x0; f (x0)) के साथ एक निश्चित बिंदु A से गुजरने वाली रेखा को परिभाषित करने के लिए, किसी को इसके कोणीय गुणांक का संकेत देना चाहिए। इस स्थिति में, कोणीय गुणांक स्पर्शरेखा के /y / thex के बराबर होता है (andх → 0) और संख्या f '(x0) की ओर जाता है।

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यदि f '(x0) का मान मौजूद नहीं है, तो या तो कोई स्पर्शरेखा नहीं है, या यह लंबवत गुजरती है। इसे देखते हुए, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की उपस्थिति बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ संपर्क में एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के कारण है (x0, f (x0))। इस मामले में, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f '(x0) के बराबर है। इस प्रकार, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट हो जाता है - स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक की गणना।

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आकृति में अतिरिक्त स्पर्शरेखाएँ बनाएँ जो कि बिंदु X1, x2 और x3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ से संपर्क करें, और x- अक्ष के साथ इन स्पर्शरेखाओं द्वारा गठित कोणों पर भी ध्यान दें (यह कोण अक्ष से स्पर्शरेखा रेखा की ओर सकारात्मक दिशा में गिना जाता है)। उदाहरण के लिए, पहला कोण, यानी α1, तेज होगा, दूसरा (α2) कुंद होगा, और तीसरा (α3) शून्य होगा, क्योंकि खींची गई स्पर्शरेखा रेखा OX अक्ष के समानांतर है। इस स्थिति में, ऑब्सट्यूड कोण स्पर्शरेखा एक नकारात्मक मान है, तीव्र कोण स्पर्शरेखा सकारात्मक है, और tg0 पर परिणाम शून्य है।

ध्यान दो

स्पर्शरेखा द्वारा गठित कोण को सही ढंग से निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, प्रोट्रैक्टर का उपयोग करें।

अच्छी सलाह है

यदि उनके कोणीय गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं, तो दो तिरछी सीधी रेखाएं समानांतर होंगी; लंबवत है यदि इन स्पर्शरेखाओं के कोणीय गुणांक का उत्पाद -1 है।

  • ग्राफिक्स फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा

टिप 6: स्पर्श बिंदु के निर्देशांक कैसे खोजें

स्पर्शरेखा के बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए शुरू करने से पहले, आपको एक स्पर्शरेखा को धारण करने की संभावना की जांच करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, उस फ़ंक्शन का विश्लेषण करें जो किसी विशेष क्षेत्र में निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करता है।

अनुदेश

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एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक मनमाना लाइन के लिए स्पर्शरेखा वह सीमा होती है, जो प्रति सेकंड वक्र के चौराहे के बिंदु और सीधी रेखा एक दूसरे के पास पहुंचती है।

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इसलिए, स्पर्शरेखा में वक्र के साथ केवल एक सामान्य बिंदु होता है। हालांकि, यह कथन कड़ाई से परिभाषित क्षेत्र के लिए सही है। समन्वय विमान के अन्य क्षेत्रों में वक्र के व्यवहार के आधार पर, स्पर्शरेखा किसी दिए गए रेखा को पार कर सकती है या, इसके विपरीत, इससे दूर जा सकती है।

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कुछ घटता के लिए आप किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींच सकते हैं। ऐसी रेखाओं के उदाहरण एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त हैं। अन्य निरंतर घटता में अंक हो सकते हैं जिस पर स्पर्शरेखा का निर्माण करना असंभव है। यह उन क्षेत्रों में होता है जहां धर्मनिरपेक्ष एक सीमा की स्थिति में नहीं होता है।

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मनमाने ढंग से वक्र का वर्णन Y = F (x) द्वारा करें। लाइन Y के समीकरण का सामान्य दृश्य = kx + a। जाहिर है, निर्देशांक (Xo, Yo) के साथ स्पर्शरेखा बिंदु पर, निम्नलिखित समानता रखती है: F (Xo) = kXo + a।

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यदि फ़ंक्शन F (x) बिंदु Xo पर भिन्न होता है, तो इस बिंदु पर आप वक्र को स्पर्शरेखा आकर्षित कर सकते हैं, और अक्ष OX के स्पर्शरेखा का ढलान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है: k = F '(Xo)। स्पर्शरेखा के बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण Yo = F '(Xo) * Xo + a लेता है। स्पर्शरेखा बिंदु के निर्देशांक खोजने का कार्य दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम करता है जिसमें दो अज्ञात Yo = F (Xo) और Yo = F '(Xo) * Xo + a हैं।

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यदि यह सतह के साथ एक बिंदु और एक सीधी या सपाट घुमावदार रेखा के साथ समतल है, तो तल सतह पर स्पर्शरेखा है स्पर्शरेखा समतल के एक सामान्य बिंदु के निर्देशांक (Xo Yo Zo) का निर्धारण और एक दी गई वक्र सतह Z = F (x, y) संभव है यदि फ़ंक्शन F (x, y) में दिए गए बिंदु पर पूर्ण अंतर है।

टिप 7: शेड्यूल फ़ंक्शन और स्पर्शरेखा को कैसे हल करें

फ़ंक्शन ग्राफ के स्पर्शरेखा समीकरण को बनाने का कार्य प्रत्यक्ष विषयों के एक सेट से चयन करने की आवश्यकता को कम करता है जो दिए गए आवश्यकताओं को पूरा कर सकता है। इन सभी पंक्तियों को या तो अंक या एक कोणीय गुणांक द्वारा दिया जा सकता है। फ़ंक्शन के ग्राफ और स्पर्शरेखा को हल करने के लिए, कुछ क्रियाओं को करना आवश्यक है।

अनुदेश

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स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के कार्य को ध्यान से पढ़ें। एक नियम के रूप में, एक्स और वाई के संदर्भ में व्यक्त फ़ंक्शन ग्राफ का एक निश्चित समीकरण है, साथ ही स्पर्शरेखा के एक बिंदु के निर्देशांक भी हैं।

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X और y अक्ष निर्देशांक में फ़ंक्शन को प्लॉट करें। इसके लिए, x के दिए गए मान के लिए समानता y के बीच संबंध की एक तालिका संकलित करना आवश्यक है। यदि फ़ंक्शन का ग्राफ अरेखीय है, तो इसे बनाने के लिए आपको कम से कम पांच समन्वय मूल्यों की आवश्यकता होगी। समन्वयन कुल्हाड़ियों और फ़ंक्शन ग्राफ को ड्रा करें। समस्या कथन में इंगित बिंदु भी वितरित करें।

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संपर्क के बिंदु के अनुपस्थिति का मूल्य ज्ञात करें, जिसे "a" अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। यदि यह स्पर्शरेखा के दिए गए बिंदु से मेल खाता है, तो "a" इसके x- समन्वय के बराबर होगा। फ़ंक्शन समीकरण में अनुपस्थिति मूल्य को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन च (ए) के मूल्य का निर्धारण करें।

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फ़ंक्शन f '(x) के समीकरण के पहले व्युत्पन्न का निर्धारण करें और इसमें बिंदु "a" का मान रखें।

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स्पर्शरेखा के सामान्य समीकरण को लें, जिसे y = f (a) = f (a) (x - a) के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसमें विकल्प a, f (a), f '(a) पाए जाते हैं। नतीजतन, फ़ंक्शन ग्राफ और स्पर्शरेखा का एक समाधान मिलेगा।

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समस्या को एक अलग तरीके से हल करें यदि स्पर्शरेखा के दिए गए बिंदु स्पर्शरेखा के बिंदु से मेल नहीं खाते हैं। इस मामले में, संख्याओं के बजाय स्पर्शरेखा के समीकरण में "a" अक्षर को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। उसके बाद, अक्षरों "x" और "y" के बजाय, दिए गए बिंदु के समन्वय मूल्य को प्रतिस्थापित करें। परिणामी समीकरण को हल करें जिसमें "a" अक्षर अज्ञात है। मूल्य को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें।

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यदि समस्या कथन फ़ंक्शन के समीकरण और वांछित स्पर्शरेखा के समानांतर समानांतर रेखा के समीकरण को निर्दिष्ट करता है, तो "a" अक्षर के साथ एक स्पर्शरेखा समीकरण बनाएं। इसके बाद, बिंदु "" ए "पर समन्वय को निर्धारित करने के लिए सीधी रेखा के समानांतर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजना आवश्यक है। स्पर्शरेखा के समीकरण में उचित मान को प्रतिस्थापित करें और फ़ंक्शन को हल करें।

टिप 8: स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा को कैसे खोजें

फ़ंक्शन एफ (x) के पहले क्रम व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इसके ग्राफ के स्पर्शरेखा रेखा है जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है और इस बिंदु पर इसके साथ मेल खाता है। इसके अलावा, दिए गए बिंदु x0 पर व्युत्पन्न का मान ढलान है या, अन्यथा, स्पर्शरेखा रेखा k = tg a = F '(x0) के ढलान का स्पर्शरेखा है। इस गुणांक की गणना कार्यों के सिद्धांत में सबसे आम समस्याओं में से एक है।

अनुदेश

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दिए गए फ़ंक्शन F (x) को लिखें, उदाहरण के लिए, F (x) = (x 15 + 15x +26)। यदि समस्या स्पष्ट रूप से उस बिंदु को इंगित करती है जिसके माध्यम से स्पर्शरेखा को बाहर किया जाता है, उदाहरण के लिए, इसका समन्वय x0 = -2 है, तो आप फ़ंक्शन और अतिरिक्त लाइनों को OXY कार्टेशियन सिस्टम पर साजिश किए बिना कर सकते हैं। दिए गए फ़ंक्शन F '(x) के पहले क्रम व्युत्पन्न का पता लगाएं। इस उदाहरण में, F '(x) = (3x 15 + 15)। फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में तर्क x0 के निर्दिष्ट मूल्य को प्रतिस्थापित करें और इसके मूल्य की गणना करें: F '(- 2) = (3 (-2) of + 15) = 27. इस प्रकार, आपने tg a = 27 पाया।

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उस कार्य पर विचार करते समय जहां आप एक्स-अक्ष के साथ इस ग्राफ के चौराहे के बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा को निर्धारित करना चाहते हैं, आपको पहले ओएक्स के साथ फ़ंक्शन के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक का संख्यात्मक मान ज्ञात करना होगा। स्पष्टता के लिए, द्वि-आयामी ओएक्सवाई विमान पर फ़ंक्शन के ग्राफ का निर्माण करना सबसे अच्छा है।

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अनुपस्थिति के लिए समन्वय पंक्ति को सेट करें, उदाहरण के लिए, -5 से 5 तक की वेतन वृद्धि में। फ़ंक्शन में x मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित निर्देशांक की गणना करें और परिणामी बिंदुओं (x, y) को समतल विमान पर रखें। एक चिकनी रेखा के साथ डॉट्स कनेक्ट करें। आप एक्स-अक्ष के फ़ंक्शन के पूर्ण चौराहे को देखेंगे। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का समन्वय शून्य है। संबंधित तर्क के संख्यात्मक मूल्य का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन सेट करें, उदाहरण के लिए, F (x) = (4x 16 - 16), शून्य के बराबर। एक चर के साथ परिणामी समीकरण को हल करें और x की गणना करें: 4x 16 - 16 = 0, x 4 = 4, x = 2. इस प्रकार, समस्या की स्थिति के अनुसार, फ़ंक्शन के ग्राफ में स्पर्शरेखा के ढलान को समन्वय x0 = 2 के बिंदु पर मिलना चाहिए।

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इसी तरह पहले वर्णित विधि के अनुसार, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करें: F '(x) = 8 * x। फिर x0 = 2 के साथ बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करें, जो ओएक्स के साथ मूल फ़ंक्शन के चौराहे के बिंदु से मेल खाती है। फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में प्राप्त मूल्य को प्रतिस्थापित करें और स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा की गणना करें: tg a = F '(2) = 16।

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जब y- अक्ष (ОY) के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ के चौराहे बिंदु पर कोणीय गुणांक का पता लगाते हैं, तो वही क्रियाएं करें। केवल वांछित बिंदु x0 के समन्वय को तुरंत शून्य के बराबर लिया जाना चाहिए।

टिप 9: एक सामान्य वेक्टर कैसे खोजें

प्रश्न का उत्तर देने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि वास्तव में क्या खोजा जाना चाहिए। इस मामले में, संभवतः, एक निश्चित सतह को समस्या में माना जाता है।

अनुदेश

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समस्या के समाधान के लिए, यह याद रखना चाहिए कि सतह से सामान्य को स्पर्शरेखा तल से सामान्य के रूप में परिभाषित किया गया है। इससे आगे बढ़कर, समाधान तकनीक को चुना जाएगा।

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दो चर z = f (x, y) = z (x, y) के कार्य का ग्राफ अंतरिक्ष में सतह है। इस प्रकार, यह सबसे अधिक बार पूछा जाता है। सबसे पहले, सतह पर स्पर्शरेखा विमान को किसी बिंदु M0 (x0, y0, z0) पर खोजना आवश्यक है, जहां z0 = z (x0, y0)।

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ऐसा करने के लिए, याद रखें कि एक तर्क के एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ उस बिंदु पर ग्राफ पर फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक है जहां y0 = f (x0) है। दो तर्कों के कार्यों का आंशिक व्युत्पन्न "सुपरफ्लस" तर्क को उसी तरह से ठीक करके पाया जाता है जैसे सामान्य कार्यों के व्युत्पन्न। तो बिंदु z (z (x, y) के x के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ बिंदु पर (x0, y0) सतह के समतल और विमान y = y0 (देखें। अंजीर। 1) द्वारा निर्मित वक्र के लिए इसके कोणीय गुणांक स्पर्शक की समानता में होते हैं।

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अंजीर में परिलक्षित डेटा। 1, हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि सतह z = z (x, y) के स्पर्श बिंदु का समीकरण जिसमें Y M = y0: m (x-x0) = (z-z0), y के साथ बिंदु M0 (xo, y0, z0) है। = य ०। विहित रूप में, हम लिख सकते हैं: (x-x0) / (1 / m) = (z-z0) / 1, y = y0। इसका मतलब यह है कि इस स्पर्शरेखा की दिशा वेक्टर s1 (1 / m, 0, 1) है।

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अब, यदि y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के लिए कोणीय गुणांक n है, तो यह काफी स्पष्ट है कि, पिछली अभिव्यक्ति की तरह, इसमें (y-y0) / (1 / n) = (z-z0), x = x0 और s2 होगा 0, 1 / एन, 1)।

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इसके अलावा, स्पर्शरेखा विमान के समीकरण के लिए एक खोज के रूप में समाधान के प्रचार को रोका जा सकता है और सीधे वांछित सामान्य एन पर आगे बढ़ सकता है। यह एक वेक्टर उत्पाद n = [s1, s2] के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसकी गणना करते हुए, यह निर्धारित किया जाएगा कि सतह पर दिए गए बिंदु पर (x0, y0, z0)। n = {- 1 / n, -1 / m, 1 / mn}।

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चूँकि कोई भी आनुपातिक सदिश एक ओम सामान्य वेक्टर भी रहेगा, इसलिए उत्तर n = {- n, -m, 1} और अंत में n (dz / dx, dz / dx, -1) में उत्तर प्रस्तुत करना सबसे सुविधाजनक है।

ध्यान दो

एक खुली सतह के दो पहलू होते हैं। इस मामले में, उत्तर "ऊपरी" पक्ष के लिए दिया जाता है, जहां सामान्य 0 अक्ष के साथ एक तीव्र कोण बनाता है।