टिप 1: फैक्टोरियल नंबर कैसे खोजें

इकाई अंक निकले 10 सेकण्ड् में (MATHS)(गणित) (अप्रैल 2019).

Anonim

एक संख्या का भाज्य केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए लागू एक गणितीय अवधारणा है। यह मान 1 से आधार के सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनखंड है। कॉम्बीनेटरिक्स, संख्या सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण में अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

अनुदेश

1

किसी संख्या के भाज्य को खोजने के लिए, सभी संख्याओं के उत्पाद की गणना करना आवश्यक है, 1 से दी गई संख्या तक। सामान्य सूत्र इस प्रकार है:
n! = 1 * 2 *।

* n, जहां n कोई भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। फैक्टरियल को आमतौर पर विस्मयादिबोधक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।

2

भाज्य के मुख्य गुण:
• ०! = 1;
• एन! = n * (n-1)! ;
• n! ^ 2 ≥ n ^ n ≥ n! ≥ n।
फैक्टरियल की दूसरी संपत्ति को रिकर्सन कहा जाता है, और फैक्टरियल को ही प्राथमिक पुनरावर्ती कार्य कहा जाता है। पुनरावर्ती कार्यों का उपयोग अक्सर एल्गोरिदम के सिद्धांत और कंप्यूटर कार्यक्रमों के लेखन में किया जाता है, क्योंकि कई एल्गोरिदम और प्रोग्रामिंग कार्यों में एक पुनरावर्ती संरचना होती है।

3

एक बड़ी संख्या का तथ्य स्टर्लिंग फार्मूला द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जो हालांकि, एक अनुमानित समानता देता है, लेकिन एक छोटी सी त्रुटि के साथ। पूर्ण सूत्र इस प्रकार है:
n! = (n / e) ^ n * √ (2 *) * n) * (1 + 1 / (12 * n) + 1 / (288 * n ^ 2) +।

)
ln (n!) = (n + 1/2) * ln n - n + ln n (2 * π),
जहां ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, यूलर संख्या, जिसका संख्यात्मक मान लगभग 2.72828 के बराबर लिया जाता है।

; constant एक गणितीय स्थिरांक है, जिसका मान 3.14 के बराबर लिया जाता है।
के रूप में स्टर्लिंग सूत्र का उपयोग:
n! 2 * (2 * π * n) * (n / e) ^ n।

4

गुटबाजी की अवधारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं, उदाहरण के लिए, डबल, एम-गुना, घटते, बढ़ते, प्राइमरी, सुपरफैक्ट। दोहरा गुट निरूपित !! और 1 से संख्या के अंतराल में सभी प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद के बराबर है, एक ही समानता है, उदाहरण के लिए, 6 !! = 2 * 4 * 6।

5

एम-फोल्ड फैक्टोरियल किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक संख्या m के लिए एक डबल फैक्टोरियल का सामान्य मामला है:
for n = mk - r सही n! ... !! = = (M * I - r), जहां r, 0 से m-1 तक पूर्णांक का सेट है, I - 1 से k तक की संख्या के सेट से संबंधित है।

6

घटते हुए तथ्य को निम्न प्रकार से लिखा गया है:
(n) _k = n! / (n - k)!
बढ़ रही है:
(n) ^ k = (n + k -1)! / (n - 1)!

7

अभाज्य संख्या संख्या से कम के अपराधों के उत्पाद के बराबर होती है और इसे # से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:
12 # = 2 * 3 * 5 * 7 * 11, यह स्पष्ट है कि 13 # = 11 # = 12 #।
सुपरफैक्टोरियल 1 से मूल संख्या के अंतराल में संख्याओं के गुणनखंड के बराबर है, जो कि है:
sf (n) = 1! * 2! * 3 *।

(n - 1)! * n!, उदाहरण के लिए, sf (3) = 1! * 2! * 3! = 1 * 1 * 2 * 1 * 2 * 3 = 12।

टिप 2: फैक्टरियल कैसे खोजें

एक प्राकृतिक संख्या एन का भाज्य (एन द्वारा निरूपित!) एन से अधिक नहीं होने वाली सभी प्राकृतिक संख्याओं का उत्पाद है। एन के छोटे मूल्यों के लिए एक संख्या का भाज्य खोजना अपेक्षाकृत सरल है। हालांकि, बढ़ते एन के साथ, गणना की जटिलता (परिभाषा के आधार पर) काफी बढ़ जाती है। इसलिए, कंप्यूटिंग तकनीक के बिना एक बड़ी संख्या के तथ्य को खोजना लगभग असंभव है।

आपको आवश्यकता होगी

  • कैलकुलेटर, कंप्यूटर।

अनुदेश

1

किसी संख्या की वास्तविकता की गणना करने के लिए, एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर लें। कैलकुलेटर के कीबोर्ड पर प्रारंभिक संख्या टाइप करें और भाज्य गणना बटन दबाएं। कैलकुलेटर के डिजाइन के आधार पर, इस बटन पर शिलालेख अलग दिख सकता है। उदाहरण के लिए, "x!", "N!" या "एन!"। हालांकि, किसी भी मामले में, विस्मयादिबोधक चिह्न ("!") को फैक्टरियल के पदनाम में मौजूद होना चाहिए।

2

चूँकि एक संख्या का तथ्यात्मक मूल्य बहुत जल्दी बढ़ जाता है क्योंकि तर्क बढ़ता है, फिर 15 से शुरू होकर, तथ्यात्मक मूल्य 12 से अधिक वर्णों को लेता है और पारंपरिक कैलकुलेटर के संकेतकों पर फिट बैठता है। जैसे ही गणना का परिणाम कैलकुलेटर की अंकों की क्षमता से अधिक हो जाता है, उनमें से अधिकांश संख्याओं को प्रदर्शित करने के "घातीय" मोड में चले जाते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, गुट 100 का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जाएगा: 9.3326215443944152681699238856267e + 157 (या समतुल्य)। परिणाम को अधिक परिचित रूप में प्राप्त करने के लिए, प्रतीक "ई" ("ई") से पहले स्थित संख्या को असाइन करें, जैसा कि "ई" अक्षर के बाद इंगित किए गए कई शून्य हैं।

3

कंप्यूटर का उपयोग करके किसी संख्या का तथ्यात्मक पता लगाने के लिए, प्रोग्राम "कैलकुलेटर" चलाएं। ऐसा करने के लिए, बस "प्रारंभ", "रन" बटन पर क्लिक करें, "कैल्क" टाइप करें और "ओके" पर क्लिक करें। जांचें कि किस मोड में प्रोग्राम "कैलकुलेटर" लोड किया गया है। यदि प्रोग्राम विंडो एक सामान्य "अकाउंटिंग" कैलकुलेटर की तरह दिखता है, तो इसे "इंजीनियरिंग" गणना मोड में स्विच करें। ऐसा करने के लिए, मेनू आइटम "व्यू" पर क्लिक करें, और फिर ड्रॉप-डाउन सूची में "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करें। अगला, वही चरण करें जो निर्देशों के पिछले पैराग्राफ में सूचीबद्ध हैं। यही है, संख्या स्वयं दर्ज करें और "n!" लेबल वाला बटन दबाएं।

4

यदि आपको नियमित रूप से भाज्य गणना करना है, और पास में कोई इंजीनियरिंग कैलकुलेटर या कंप्यूटर नहीं है, तो बस नीचे दी गई तालिका को प्रिंट करें। इसका उपयोग करते हुए, आप आसानी से किसी भी संख्या के भाज्य - 0 से 50 तक - कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके पा सकते हैं।

अच्छी सलाह है

याद रखें कि तथ्यात्मक शून्य 1 है (शून्य नहीं!), अर्थात। ०! = १।

टिप 3: फैक्टरियल को कैसे हल करें

एक संख्या का भाज्य सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है जो निश्चित संख्या को सम्मिलित करता है। इसका प्रतीक निर्दिष्ट संख्या (उदाहरण के लिए, 5!) के बाद एक विस्मयादिबोधक चिह्न है।

आपको आवश्यकता होगी

  • कैलकुलेटर

अनुदेश

1

संख्या n के भाज्य की गणना करने के लिए, आपको सबसे सरल सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: n! = 1 एक्स 2 एक्स।

एन। उदाहरण के लिए, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. कैलकुलेटर का उपयोग करके सभी गुणन कार्यों को आसानी से किया जा सकता है।

2

यदि संख्या, जिस फैक्टरियल की गणना की जानी है, वह बहुत बड़ी है, तो फैक्टरियल टेबल आपकी मदद कर सकती है। ऐसी टेबल प्रिंट संस्करण में हैं और इंटरनेट पर खुले उपयोग में हैं।

3

आलसी के लिए फैक्टरियल की गणना करने का एक अन्य विकल्प तथाकथित तथ्यात्मक कैलकुलेटर है, जो सिर्फ एक ऑपरेशन करने के बाद सही उत्तर देता है। यह कैलकुलेटर पब्लिक डोमेन में भी है।

  • 1 से 40 तक की संख्या के लिए फैक्टरियल टेबल
  • तथ्यात्मक तालिका

टिप 4: तथ्यात्मक गणना कैसे करें

एक प्राकृतिक संख्या का भाज्य पिछली संख्या सहित सभी पिछली प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है। शून्य का भाज्य एक के बराबर है। ऐसा लगता है कि किसी संख्या के भाज्य की गणना करना बहुत सरल है - यह सभी सकारात्मक पूर्णांक को गुणा करने के लिए पर्याप्त है जो दिए गए से अधिक नहीं है। हालांकि, फैक्टरियल का मूल्य इतनी तेज़ी से बढ़ता है कि कुछ कैलकुलेटर इस कार्य के साथ सामना नहीं करते हैं।

आपको आवश्यकता होगी

  • कैलकुलेटर, कंप्यूटर

अनुदेश

1

एक प्राकृतिक संख्या के भाज्य की गणना करने के लिए, दिए गए एक से अधिक नहीं होने वाले सभी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करें। प्रत्येक संख्या को केवल एक बार गिना जाता है। सूत्र के रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 *।

* (n-2) * (n-1) * n, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है, जिसका गुणन गणना करना है।
0! को एक माना जाता है (0! = 1)। जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है, वैसे-वैसे गुटीय मूल्य बहुत तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए गुट 15 के लिए सामान्य (लेखा) कैलकुलेटर पहले से ही परिणाम के बजाय त्रुटि संदेश दे सकता है।

2

एक बड़ी प्राकृतिक संख्या के भाज्य की गणना करने के लिए, एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर लें। यही है, कीबोर्ड पर ऐसा कैलकुलेटर जिसमें गणितीय कार्यों के लिए अंकन है (कॉस, पाप, calculator)। कैलकुलेटर पर प्रारंभिक संख्या टाइप करें, और फिर भाज्य गणना बटन पर क्लिक करें। आमतौर पर इस तरह के एक बटन को "एन!" कहा जाता है। या इसी तरह (अक्षर "n" के बजाय "N" या "x" हो सकता है, लेकिन विस्मयादिबोधक चिह्न "!" भाज्य के पदनाम में किसी भी मामले में मौजूद होना चाहिए)।
तर्क के बड़े मूल्यों के लिए, गणना के परिणाम "घातीय" (घातीय) रूप में प्रदर्शित होने लगते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, फैक्टरियल 50 को फॉर्म में दर्शाया जाएगा: 3.0414093201713378043612608166065e + 64 (या समान)। सामान्य रूप में गणनाओं का परिणाम प्राप्त करने के लिए, चरित्र को "ई" से पहले दिखाए गए नंबर पर असाइन करें, जैसा कि "ई +" (यदि, निश्चित रूप से, पर्याप्त स्थान है) के बाद इंगित किए गए कई शून्य।

3

कंप्यूटर पर तथ्यात्मक संख्याओं की गणना करने के लिए, प्रोग्राम "कैलकुलेटर" (मानक विंडोज कैलकुलेटर) चलाएं। ऐसा करने के लिए, डेस्कटॉप पर इसकी छवि ढूंढें या "प्रारंभ" और "रन" पर क्लिक करें। फिर, दिखाई देने वाली विंडो में "कैल्क" टाइप करें और "ओके" पर क्लिक करें। देखें: कार्यक्रम "कैलकुलेटर" किस मोड में लॉन्च किया गया था। यदि चित्र एक सामान्य "अकाउंटिंग" कैलकुलेटर जैसा दिखता है, तो इसे "इंजीनियरिंग" मोड पर स्विच करें। ऐसा करने के लिए, बस "देखें" पर क्लिक करें और विकल्पों की सूची में "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करें।
उसके बाद, निर्देश के पिछले पैराग्राफ में सूचीबद्ध समान चरण करें - एक नंबर टाइप करें और "n!" बटन दबाएं।

4

कंप्यूटर तकनीक का उपयोग किए बिना किसी संख्या के भाज्य को "गणना" करना संभव है। ऐसा करने के लिए, बस फैक्टोरियल टेबल प्रिंट करें। चूंकि फैक्टोरियल वैल्यू बहुत तेज़ी से बढ़ रहे हैं, केवल 0 से 50 तक की संख्या के फैक्टरियल वास्तव में मुद्रित होते हैं। हालांकि, ऐसी तालिकाओं का व्यावहारिक अनुप्रयोग अत्यधिक संदिग्ध है। आखिरकार, सबसे पहले, इस तरह के एक बहु-मूल्यवान संख्या को दर्ज करने में बहुत समय लगेगा, दूसरे, प्रवेश करते समय एक त्रुटि की उच्च संभावना है, और तीसरा, यह स्पष्ट नहीं है कि इतनी लंबी संख्या में प्रवेश करना कहां है। न तो कैलकुलेटर डिस्प्ले और न ही एक्सेल सेल सिर्फ इतनी संख्या में फिट होते हैं।

  • प्राकृतिक तथ्य