टिप 1: सामान्य विमान कैसे खोजें


NOUS ET LES EXTRATERRESTRES DOCUMENTAIRE 2019 - #2-LA SCIENCE-FICTION VS LA REALITE (जुलाई 2019).

Anonim

प्लेन एन के लिए सामान्य (प्लेन के लिए वेक्टर नॉर्मल) इसे (ऑर्थोगोनल वेक्टर) के लिए कोई सीधा लंबवत है। सामान्य की परिभाषा पर आगे की गणना विमान को परिभाषित करने की विधि पर निर्भर करती है।

अनुदेश

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यदि विमान का सामान्य समीकरण दिया गया है - AX + BY + CZ + D = 0 या इसका रूप A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0 है, तो आप तुरंत उत्तर लिख सकते हैं - n (A), बी, सी)। तथ्य यह है कि इस समीकरण को सामान्य और बिंदु के साथ विमान समीकरण को निर्धारित करने की समस्या के रूप में प्राप्त किया गया था।

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एक सामान्य उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको इस तथ्य के कारण वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की आवश्यकता होती है कि उत्तरार्द्ध हमेशा मूल वैक्टर के लिए लंबवत होता है। तो, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद कुछ वेक्टर हैं जिनके मापांक पहले (a) के मापांक और दूसरे (b) के मापांक और उनके बीच के कोण के साइन के उत्पाद के बराबर हैं। इसके अलावा, यह वेक्टर (इसे एन द्वारा निरूपित करता है) एक है और बी मुख्य है। इन वैक्टरों का ट्रिपल सही है, यानी n के सबसे छोटे मोड़ से a से b तक वामावर्त है।
[a, b] एक वेक्टर उत्पाद के लिए आमतौर पर स्वीकृत संकेतन में से एक है। समन्वित रूप में वेक्टर उत्पाद की गणना करने के लिए, निर्धारक वेक्टर का उपयोग किया जाता है (चित्र 1 देखें)।

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संकेत "-" के साथ भ्रमित न होने के लिए, परिणाम को फिर से लिखें: n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz + k) (axby-aybx), और निर्देशांक में। : {nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}।
इसके अलावा, संख्यात्मक उदाहरणों के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए, सभी प्राप्त मूल्यों को अलग से लिखें: nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx।

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कार्य के समाधान पर वापस लौटें। विमान को विभिन्न तरीकों से सेट किया जा सकता है। विमान को सामान्य दो गैर-कोलीनियर वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है, और तुरंत संख्यात्मक रूप से।
वैक्टर (2, 4, 5) और बी (3, 2, 6) को दें। विमान का सामान्य उनके सदिश उत्पाद के साथ मेल खाता है और, जैसा कि इसे अभी स्पष्ट किया गया है, n (nx, ny, nz) के बराबर होगा,
nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx। इस मामले में, कुल्हाड़ी = 2, ay = 4, az = 5, bx = 3, by = 2, bz = 6। इस प्रकार,
nx = 24-10 = 14, ny = 12-15 = -3, nz = 4-8 = -4। सामान्य पाया जाता है - एन (14, -3, -4)। इसके अलावा, यह विमानों के पूरे परिवार के लिए सामान्य है।

टिप 2: सामान्य कैसे खोजें

गणितीय शब्द के तहत, सामान्य कान के लंबवत अवधारणा से अधिक परिचित है। यही है, सामान्य को खोजने के कार्य में एक पंक्ति के समीकरण को खोजना शामिल है जो किसी निश्चित बिंदु से गुजरने वाले किसी दिए गए वक्र या सतह के लंबवत है। इस बात पर निर्भर करता है कि हवाई जहाज या अंतरिक्ष में एक सामान्य स्थिति की आवश्यकता है या नहीं, इस समस्या को विभिन्न तरीकों से हल किया जाता है। समस्या के दोनों प्रकारों पर विचार करें।

आपको आवश्यकता होगी

  • कार्यों के डेरिवेटिव को खोजने की क्षमता, कई चर के कार्यों के आंशिक डेरिवेटिव को खोजने की क्षमता

अनुदेश

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समतल पर परिभाषित वक्र सामान्य है जो समीकरण y = f (x) के रूप में है। उस फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें जो इस वक्र के समीकरण को उस बिंदु पर परिभाषित करता है जिस पर सामान्य समीकरण मांगा गया है: a = f (x0)। इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: f '(x)। हम एक ही बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की तलाश करते हैं: B = f '(x0)। हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं: C = a - B * x0। हम सामान्य का समीकरण बनाते हैं, जो होगा: y = B * x + C।

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एक सतह के लिए सामान्य या एक समीकरण के रूप में अंतरिक्ष में परिभाषित एक वक्र f = f (x, y, z)। हमें दिए गए फ़ंक्शन के लिए आंशिक व्युत्पन्न खोजें: f'x (x, y, z), f'y (x, y, f) z), f'z (x, y, z)। हम बिंदु M (x0, y0, z0) पर इन डेरिवेटिव्स के मूल्य की तलाश करते हैं - वह बिंदु जिस पर सतह या स्थानिक वक्र के लिए सामान्य का समीकरण पाया जाना चाहिए: A = f'x (x0, y0, z0), B = f'y (x0 y0, z0), C = f'z (x0, y0, z0)। हम सामान्य का समीकरण बनाते हैं, जो इस तरह दिखेगा: (x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C

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उदाहरण:
बिंदु x = 1 पर कार्य y = x - x ^ 2 के लिए सामान्य समीकरण ज्ञात कीजिए।
इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान एक = 1 - 1 = 0 है।
समारोह की व्युत्पत्ति y '= 1 - 2x, इस बिंदु पर B = y' (1) = -1।
हम C = 0 - (-1) * 1 = 1 की गणना करते हैं।
मांगी गई सामान्य समीकरण है: y = -x + 1

अच्छी सलाह है

किसी भी फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव की कल्पना करना मुश्किल नहीं है कि जांच की जा रही को छोड़कर सभी चर निरंतर हैं।

टिप 3: सामान्य वेक्टर को कैसे खोजें

एक विमान और अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर को खोजने का कार्य बहुत सरल है। वास्तव में, यह एक सीधी रेखा या समतल के सामान्य समीकरणों को लिखकर समाप्त होता है। चूंकि विमान में वक्र अंतरिक्ष में एक सतह का एक विशेष मामला है, तो यह सतह के मानदंडों के बारे में है जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं।

अनुदेश

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पहली विधि यह विधि सबसे आसान है, लेकिन इसे समझने के लिए एक स्केलर फ़ील्ड की अवधारणा का ज्ञान आवश्यक है। हालाँकि, पाठक जो इस मामले में अनुभवहीन है, इस प्रश्न के परिणामी सूत्रों का उपयोग करने में सक्षम होगा।

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यह ज्ञात है कि स्केलर फ़ील्ड f को f = f (x, y, z) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि कोई भी सतह एक स्तर की सतह f (x, y, z) = C (C = const) है। इसके अलावा, सतह का स्तर सामान्य दिए गए बिंदु पर स्केलर फ़ील्ड के ढाल के साथ मेल खाता है।

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स्केलर फ़ील्ड का ढाल (तीन चर का एक फ़ंक्शन) वेक्टर g = gradf = idf / dx + jff / dy + kff / dz = {df / dx, df / dy, df / dz} है। चूंकि सामान्य की लंबाई मायने नहीं रखती है, यह केवल उत्तर रिकॉर्ड करने के लिए बनी हुई है। सामान्य से सतह f (x, y, z) -C = 0 बिंदु पर M0 (x0, y0, z0) n = gradf = idf / dx + jff / dy + kff / dz = {df / dx, df / dy, df / dz}।

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दूसरी विधि सतह को समीकरण F (x, y, z) = 0 से दें। पहली विधि के साथ आगे की उपमाएं बनाने के लिए, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि स्थिर का व्युत्पन्न शून्य है, और F को f (x, y, z) -C = 0 (C = const) के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि हम इस सतह को एक मनमाने विमान के साथ पार करते हैं, तो परिणामी स्थानिक वक्र को कुछ वेक्टर फंक्शन r (t) = ix = (t) x + jy (t) + kz (t) के होडोग्राफ़ के रूप में माना जा सकता है। फिर वेक्टर r '(t) = ix' (t) + jy '(t) + kz' (t) का व्युत्पन्न सतह के कुछ बिंदु M0 (x0, y0, z0) पर स्पर्शरेखा है (चित्र 1 देखें)।

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भ्रम से बचने के लिए, स्पर्शरेखा रेखा के वर्तमान निर्देशांक को इंगित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इटैलिक्स (x, y, z) द्वारा। स्पर्शरेखा रेखा का विहित समीकरण, जिसे ध्यान में रखते हुए कि r '(t0) एक दिशा सदिश है, (xx (t0)) / (dx (t0) / dt) = (yy (t0)) / (t0) / dt के रूप में लिखा जाता है। ) = (zz (t0)) / (dz (t0) / dt)

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वेक्टर फ़ंक्शन के निर्देशांक को सतह f (x, y, z) -C = 0 के समीकरण में बदलकर t द्वारा विभेदित करने पर आपको मिलता है (df / dx) (dx / dt) + (df / dy (dt / dt) + (df) / dz) (dz / dt) = 0 समानता कुछ वेक्टर n (df / dx, df / dy, df / dz) और r '(x' (t), y '(t), z' (t) का अदिश उत्पाद है। चूंकि यह शून्य है, तो n (df / dx, df / dy, df / dz) वांछित सामान्य वेक्टर है। जाहिर है, दोनों तरीकों के परिणाम समान हैं।

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एक उदाहरण (सैद्धांतिक मूल्य है)। शास्त्रीय समीकरण द्वारा दिए गए दो चर z = z (x, y) के कार्य की सतह के लिए सामान्य वेक्टर का पता लगाएं। निर्णय। इस समीकरण को zz (x, y) = F (x, y, z) = 0 के रूप में फिर से लिखें। किसी भी पूर्वनिर्मित विधि के बाद, यह पता चलता है कि n (-dz / dx, -dz / dy, 1) वांछित सामान्य वेक्टर है।

  • साहित्य। पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। कॉलेजों के लिए पाठ्यपुस्तक। Т.1.-М: विज्ञान, 1978.-456 पी।