कैसे एक समारोह की निरंतरता साबित करने के लिए


Dharmic Schools of Thought (जून 2019).

Anonim

एक फ़ंक्शन को निरंतर कहा जाता है यदि इन बिंदुओं के बीच तर्क में छोटे बदलाव के लिए इसके प्रदर्शन में कोई छलांग नहीं है। रेखीय रूप से, ऐसे कार्य को एक ठोस रेखा द्वारा, बिना अंतराल के दर्शाया जाता है।

अनुदेश

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एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता का प्रमाण तथाकथित Δ-Δ-तर्क का उपयोग करके किया जाता है। definition-belong परिभाषा है: x_0 सेट X से संबंधित है, तो फंक्शन (x) बिंदु x_0 पर निरंतर है, अगर किसी ε> 0 के लिए Δ> मौजूद है that> 0 ऐसा है कि | x - x_0 |

उदाहरण 1: बिंदु x_0 पर फ़ंक्शन f (x) = x ^ 2 की निरंतरता साबित करें।
का प्रमाण
By-ε परिभाषा के अनुसार, ε> 0 ऐसा है कि मौजूद है। x ^ 2 - x_0 ^ 2 |

द्विघात समीकरण को हल करें (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) -) = 0. विवेकशील D = √ (4 * x_0 ^ 2 + 4 * ε = 2 * √ (! X_0) | 2 + ε)। फिर रूट है | x - x_0 | = (-2 * x_0 + 2 * -2 (! X_0 | ^ 2 + *)) / 2 (_ (| x_0 | ^ 2 + ε))। इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) = x ^ 2 निरंतर है | x - x_0 | = = (| X_0 | ^ 2 + =) = x।

परिभाषा के पूरे डोमेन में कुछ प्राथमिक कार्य निरंतर हैं (एक्स मानों का एक सेट):
f (x) = C (स्थिर); सभी त्रिकोणमितीय कार्य पाप x, cos x, tan x, ctg x, आदि हैं।

उदाहरण 2: फ़ंक्शन की निरंतरता को साबित करें f (x) = sin x।
का प्रमाण
एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा के द्वारा इसके अपरिमेय वृद्धि द्वारा लिखें:
Δf = sin (x + Δx) - sin x।

त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्र के अनुसार परिवर्तित करें:
Δf = 2 * cos ((x + )x) / 2) * sin (=x / 2)।
Cos फ़ंक्शन x, 0 के लिए बाध्य है, और फ़ंक्शन पाप (Δx / 2) की सीमा शून्य हो जाती है, इसलिए, यह 0x → 0 के रूप में असीम रूप से छोटा है। एक बंधे हुए फ़ंक्शन और एक असीम रूप से छोटे q मान का उत्पाद, और इसलिए मूल फ़ंक्शन का वेतन वृद्धि, एक अनंत छोटी मात्रा भी है। इसलिए, x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन f (x) = sin x निरंतर है।

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उदाहरण 1: बिंदु x_0 पर फ़ंक्शन f (x) = x ^ 2 की निरंतरता साबित करें।
का प्रमाण
By-ε परिभाषा के अनुसार, ε> 0 ऐसा है कि मौजूद है। x ^ 2 - x_0 ^ 2 |

द्विघात समीकरण को हल करें (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) -) = 0. विवेकशील D = √ (4 * x_0 ^ 2 + 4 * ε = 2 * √ (! X_0) | 2 + ε)। फिर रूट है | x - x_0 | = (-2 * x_0 + 2 * -2 (! X_0 | ^ 2 + *)) / 2 (_ (| x_0 | ^ 2 + ε))। इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) = x ^ 2 निरंतर है | x - x_0 | = = (| X_0 | ^ 2 + =) = x।

परिभाषा के पूरे डोमेन में कुछ प्राथमिक कार्य निरंतर हैं (एक्स मानों का एक सेट):
f (x) = C (स्थिर); सभी त्रिकोणमितीय कार्य पाप x, cos x, tan x, ctg x, आदि हैं।

उदाहरण 2: फ़ंक्शन की निरंतरता को साबित करें f (x) = sin x।
का प्रमाण
एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा के द्वारा इसके अपरिमेय वृद्धि द्वारा लिखें:
Δf = sin (x + Δx) - sin x।

त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्र के अनुसार परिवर्तित करें:
Δf = 2 * cos ((x + )x) / 2) * sin (=x / 2)।
Cos फ़ंक्शन x, 0 के लिए बाध्य है, और फ़ंक्शन पाप (Δx / 2) की सीमा शून्य हो जाती है, इसलिए, यह 0x → 0 के रूप में असीम रूप से छोटा है। एक बंधे हुए फ़ंक्शन और एक असीम रूप से छोटे q मान का उत्पाद, और इसलिए मूल फ़ंक्शन का वेतन वृद्धि, एक अनंत छोटी मात्रा भी है। इसलिए, x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन f (x) = sin x निरंतर है।

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द्विघात समीकरण को हल करें (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) -) = 0. विवेकशील D = √ (4 * x_0 ^ 2 + 4 * ε = 2 * √ (! X_0) | 2 + ε)। फिर रूट है | x - x_0 | = (-2 * x_0 + 2 * -2 (! X_0 | ^ 2 + *)) / 2 (_ (| x_0 | ^ 2 + ε))। इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) = x ^ 2 निरंतर है | x - x_0 | = = (| X_0 | ^ 2 + =) = x।

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परिभाषा के पूरे डोमेन में कुछ प्राथमिक कार्य निरंतर हैं (एक्स मानों का एक सेट):
f (x) = C (स्थिर); सभी त्रिकोणमितीय कार्य पाप x, cos x, tan x, ctg x, आदि हैं।

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उदाहरण 2: फ़ंक्शन की निरंतरता को साबित करें f (x) = sin x।
का प्रमाण
इसकी अपरिमेय वृद्धि द्वारा एक कार्य की निरंतरता की परिभाषा से, नीचे लिखें:
Δf = sin (x + Δx) - sin x।

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त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्र के अनुसार परिवर्तित करें:
Δf = 2 * cos ((x + )x) / 2) * sin (=x / 2)।
Cos फ़ंक्शन x, 0 के लिए बाध्य है, और फ़ंक्शन पाप (Δx / 2) की सीमा शून्य हो जाती है, इसलिए, यह 0x → 0 के रूप में असीम रूप से छोटा है। एक बंधे हुए फ़ंक्शन और एक असीम रूप से छोटे q मान का उत्पाद, और इसलिए मूल फ़ंक्शन का वेतन वृद्धि, एक अनंत छोटी मात्रा भी है। इसलिए, x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन f (x) = sin x निरंतर है।

  • यह साबित करें कि फ़ंक्शन निरंतर है