एक पंक्ति के संबंध में एक बिंदु सममित कैसे खोजें


अनिर्बंध शारीरिक संबंध ठेवल्यानं काय होतं? - Sharirik Sambandh - Sadhguru Marathi Suvichar (मई 2019).

Anonim

एक रेखीय समीकरण द्वारा दी गई कुछ सीधी रेखा और उसके निर्देशांक (x0, y0) द्वारा दिए गए बिंदु और इस सीधी रेखा पर न पड़े हुए बिंदु दिए गए हैं। यह एक बिंदु खोजने के लिए आवश्यक है जो किसी दिए गए सीधी रेखा के सापेक्ष दिए गए बिंदु के लिए सममित होगा, अर्थात, इसके साथ मेल खाएगा यदि विमान इस सीधी रेखा के साथ आधे में मानसिक रूप से तुला हुआ था।

अनुदेश

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यह स्पष्ट है कि दोनों बिंदु - दिए गए और वांछित - एक सीधी रेखा पर झूठ होना चाहिए, और यह सीधी रेखा इस पर लंबवत होनी चाहिए। इस प्रकार, समस्या का पहला भाग एक सीधी रेखा के समीकरण का पता लगाना है, जो कुछ दी गई सीधी रेखा के लंबवत होगी और किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरेगी।

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एक सीधी रेखा को दो तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। किसी पंक्ति का विहित समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + C = 0, जहां A, B, और C स्थिर हैं। आप एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सीधी रेखा को भी परिभाषित कर सकते हैं: y = kx + b, जहां k ढलान है, b ऑफसेट है।
ये दो विधियाँ विनिमेय हैं, और दोनों में से कोई एक दूसरे से आगे बढ़ सकती है। यदि Ax + By + C = 0 है, तो y = - (Ax + C) / B दूसरे शब्दों में, रैखिक कार्य में y = kx + b, ढलान k = -A / B है, और ऑफसेट b = -C / B है। कार्य के लिए, विहित सीधी रेखा समीकरण के आधार पर बहस करना अधिक सुविधाजनक है।

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यदि दो सीधी रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं, और पहली सीधी रेखा का समीकरण Ax + By + C = 0 है, तो दूसरी सीधी रेखा का समीकरण Bx - Ay + D = 0 की तरह दिखना चाहिए, जहां D एक स्थिर है। डी का एक विशिष्ट मूल्य खोजने के लिए, आपको अतिरिक्त रूप से यह जानना होगा कि लंब रेखा किस बिंदु से गुजरती है। इस मामले में, यह एक बिंदु (x0, y0) है।
इसलिए, D को समानता को संतुष्ट करना चाहिए: Bx0 - Ay0 + D = 0, यानी D = Ay0 - Bx0।

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लंबवत रेखा पाए जाने के बाद, दिए गए एक के साथ इसके चौराहे बिंदु के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। इसके लिए रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है:
कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0,
बीएक्स - अय + अय0 - बीएक्स ० = ०।
इसका समाधान नंबर (X1, y1) देगा जो लाइनों के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक के रूप में काम करता है।

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वांछित बिंदु को मिली लाइन पर झूठ बोलना चाहिए, और चौराहे बिंदु तक इसकी दूरी चौराहे बिंदु से बिंदु (x0, y0) की दूरी के बराबर होनी चाहिए। बिंदु सममिति के बिंदु (x0, y0) के निर्देशांक इस प्रकार समीकरणों की प्रणाली को हल करके मिल सकते हैं:
बीएक्स - अय + अय0 - बीएक्स ० = ०,
- (X1 (x - x0) ^ 2 + (y1 - y0) ^ 2 = √ ((x - X1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2)।

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लेकिन आप इसे आसान कर सकते हैं। यदि अंक (x0, y0) और (x, y) बिंदु (X1, y1) से समान दूरी पर हैं, और तीनों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं, तो:
x - X1 = X1 - x0,
y - y1 = y1 - y0।
इसलिए, x = 2x1 - x0, y = 2y1 - y0। इन मूल्यों को पहले सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना और अभिव्यक्ति को सरल बनाना, यह सत्यापित करना आसान है कि इसका दाहिना भाग बाईं ओर समान हो जाता है। इसके अलावा, पहले समीकरण को ध्यान में रखने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह ज्ञात है कि अंक (x0, y0) और (X1, y1) इसे संतुष्ट करते हैं, और बिंदु (x, y) स्पष्ट रूप से एक ही रेखा पर स्थित है।