तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल किया जाए


9th Maths दो चर वाले रैखिक समीकरण - Part 1 (जुलाई 2019).

Anonim

पर्याप्त संख्या के समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली के पास समाधान नहीं हो सकता है। आप इसे प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके या क्रामर विधि का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रेमर विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, यह आकलन करना संभव बनाती है कि सिस्टम सॉल्व करने योग्य है या नहीं, अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले।

अनुदेश

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प्रतिस्थापन विधि में दो अन्य लोगों के माध्यम से एक अज्ञात की अनुक्रमिक अभिव्यक्ति और सिस्टम समीकरणों में प्राप्त परिणाम का प्रतिस्थापन शामिल है। सामान्य रूप में तीन समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
पहले समीकरण x: x = (d1 - b1y - c1z) / a1 से व्यक्त करें और दूसरे और तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें, फिर दूसरे समीकरण से y और तीसरे में स्थानापन्न करें। आपको सिस्टम के समीकरणों के गुणांक के संदर्भ में z के लिए एक रैखिक अभिव्यक्ति मिलेगी। अब वापस जाएं: दूसरे समीकरण में स्थानापन्न z और y खोजें, फिर पहले में z और y स्थानापन्न करें और x ज्ञात करें। Z पाए जाने से पहले इसके सामान्य रूप में प्रक्रिया चित्र में दिखाई गई है। सामान्य रूप में आगे की रिकॉर्डिंग बहुत बोझिल हो जाएगी, व्यवहार में, संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हुए, आप आसानी से सभी तीन अज्ञात पा सकते हैं।

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Cramer की विधि में सिस्टम मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना शामिल है, साथ ही तीन और सहायक मैट्रिसेस भी शामिल हैं। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों के अज्ञात शब्दों के साथ गुणांक से बना है। समीकरणों के दाईं ओर संख्याओं वाले कॉलम को राइट साइड कॉलम कहा जाता है। यह सिस्टम मैट्रिक्स में उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन सिस्टम को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

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पहले की तरह, सामान्य रूप में तीन समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
तब समीकरणों की इस प्रणाली का मैट्रिक्स निम्नलिखित मैट्रिक्स होगा:
| ए 1 बी 1 सी 1 |
| a2 बी 2 सी 2 |
| a3 बी 3 सी 3 |
सबसे पहले, सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें। निर्धारक को खोजने का सूत्र: | ए | = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3c2। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम हल करने योग्य है और इसका एक अनूठा समाधान है। अब हमें तीन और मेट्रिक्स के निर्धारकों को खोजने की आवश्यकता है, जो दूसरे (अय) और तीसरे (एज़) के बजाय पहले कॉलम (एक्स द्वारा निरूपित) के लिए सही भागों के कॉलम को प्रतिस्थापित करके सिस्टम के मैट्रिक्स से प्राप्त होते हैं। उनके निर्धारकों की गणना करें। फिर x = | Ax | / | A |, y = | Ay | / | A |, z = | Az | A / A |

  • तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली